1. Lý thuyết giới hạn của hàm số
1.1. Giới hạn của hàm số là gì?
Khái niệm “Giới hạn” được sử dụng trong toán học để chỉ giá trị khi biến của một hàm số hoặc một dãy số khi tiến dần tới một giá trị xác định.
Giới hạn của hàm số là khái niệm cơ bản trong lĩnh vực giải tích và vi tích phân. Đây là khái niệm có liên quan mật thiết đến hàm số khi có biến tiến tới một giá trị xác định nào đó.
Ta có thể nói hàm hàm số có giới hạn L tại a khi f(x) tiến càng gần L khi x tiến càng gần a.
Ký hiệu Toán học: 
Ví dụ: 
do 
nhận các giá trị rất gần 4 khi x tiến đến 2.
1.2. Giới hạn của hàm số tại 1 điểm
Cho hàm số y = f(x) và khoảng K chứa điểm x0. Hàm f(x) xác định trên K hoặc K ∖ x0
Ta nói y = f(x) có giới hạn là L khi x tiến dần tới x0 nếu với dãy xn bất kì, 
ta có 
Ký hiệu Toán học:
hay f(x) = L khi
1.3. Giới hạn của hàm số tại vô cực
a, Cho y = f(x) xác định trên 
Ta nói y = f(x) có giới hạn là L khi x tiến dần tới 
nếu với dãy bất kì, và ta có
Ký hiệu Toán học:
hay f(x) = L khi
b, Cho y = f(x) xác định trên
Ta nói y = f(x) có giới hạn là L khi x tiến dần tới nếu với dãy bất kì, và ta có
Ký hiệu Toán học:
hay f(x) = L khi
Nhận xét: Hàm số f(x) có giới hạn là khi và chỉ khi hàm số -f(x) có giới hạn là
1.4. Giới hạn của hàm số là lim
Giả sử f(x) là một hàm số giá trị thực, a là một số thực. Biểu thức có nghĩa là f(x) sẽ càng gần L nếu x đủ gần a. Ta nói giới hạn của f(x) khi xđạt gần đến a là L. Chú ý rằng điều này cũng đúng khi $f(a)neq L$ và khi f(x) không xác định tại a.
Đăng ký ngay bộ tài liệu tổng hợp kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập Toán thi THPT Quốc Gia độc quyền của VUIHOC
2. Các định lý về giới hạn của hàm số
-
Định lý 1:
a, Giả sử và . Khi đó:
b, Nếu và thì: và
Dấu của hàm f(x) được xét trên khoảng cần tìm giới hạn với
-
Định lý 2:
khi và chỉ khi
3. Một số giới hạn đặc biệt
a,
b,
c,
d, với c là hằng số
e, với k là số nguyên dương
f, nếu như k là số lẻ
g, nếu như k là số chẵn
4. Các dạng toán tính giới hạn của hàm số và ví dụ
4.1. Tìm giới hạn xác định bằng cách sử dụng định nghĩa
Phương pháp giải: chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số để tính
Ví dụ: Tìm giới hạn của các hàm số sau đây bằng định nghĩa:
a,
b,
c,
d,
Lời giải:
1. Với mọi dãy (xn): limxn = 1 ta có:
Vậy
2. Với mọi dãy (xn): limxn = 1 ta có:
3. Với mọi dãy (xn): limxn = 0 ta có:
4. Với mọi dãy (xn): xn > 1, n và limxn = 1 ta có:
4.2. Tìm giới hạn của hàm số dạng 0/0, dạng vô cùng trên vô cùng
Hàm số 0/0 là hàm số có dạng với
Phương pháp giải: Sử dụng định lí Bơzu: Nếu f(x) có nghiệm , ta sẽ có Nếu hàm f(x) và g(x) là đa thức thì ta sẽ phân tích như sau:
Khi đó , ta tiếp tục quá trình như trên nếu giới hạn này có dạng 0/0
Ví dụ: Tìm các giới hạn dưới đây:
a,
b,
Lời giải:
a,
Ta có:
b,
Ta có:
4.3. Tìm giới hạn hàm số dạng vô cùng trừ vô cùng
Phương pháp giải: Ta tìm các biến hàm số về dạng
Ví dụ: Tìm các giới hạn sau đây:
a,
b,
Lời giải:
a,
b,
4.4. Tìm giới hạn hàm số dạng 0 nhân vô cùng
Phương pháp giải: Ta biến đổi về dạng 0/0 hoặc $infty/infty$ sau đó dùng phương pháp giải của hai dạng này
Ví dụ: Tìm giới hạn:
Lời giải:
Đăng ký ngay để được các thầy cô tổng hợp kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi THPT Quốc gia sớm ngay từ bây giờ
5. Một số bài tập về giới hạn của hàm số từ cơ bản đến nâng cao (có lời giải)
Bài 1: Tìm các giới hạn của hàm số dưới đây bằng giới hạn:
Lời giải:
Bài 2: Chứng minh các hàm số dưới đây không có giới hạn:
-
khi x tiến tới 0
-
f(x) = cosx khi x tiến tới
Lời giải:
Bài 3: Chứng minh khi x tiến tới 0 không có giới hạn
Lời giải:
Bài 4: Tìm giới hạn sau:
Lời giải:
Bài 5: Tìm giới hạn sau:
Lời giải:
Bài 6: Tìm giới hạn:
Lời giải:
Bài 7: Tìm giới hạn:
Lời giải:
Bài 8: Tính giới hạn:
Lời giải:
Bài 9: Tính:
Lời giải:
Bài 10: Tính
Lời giải:
Trên đây là toàn bộ lý thuyết giới hạn của hàm số. Hy vọng các em đã nắm được định nghĩa, các định lý, giới hạn đặc biệt cũng như nắm được các dạng bài tập cùng cách tìm giới hạn của hàm số thuộc chương trình Toán 11. Đừng quên truy cập Vuihoc.vn để học thêm nhiều bài học bổ ích khác nhé!
Bài viết tham khảo thêm:
Giới hạn của dãy số
Lý thuyết về cấp số nhân
Hàm số liên tục
