Trực tâm là gì? Trực tâm tam giác có tính chất gì, cách xác định trực tâm như thế nào? Mời các bạn hãy cùng Download.vn đi tìm câu trả lời nhé.
Trực tâm trong tam giác là một trong những kiến thức quan trọng trong hình học và đặc biệt trong các bài tập liên quan tới hình tam giác. Trong bài học hôm nay chúng tôi sẽ giới thiệu đến các bạn toàn bộ kiến thức vè khái niệm, tính chất, cách xác định kèm theo ví dụ minh họa và các dạng bài tập có đáp án kèm theo. Qua tài liệu này các bạn củng cố kiến thức nắm vững công thức để biết cách giải bài tập Toán. Bên cạnh đó các bạn xem thêm tài liệu: tam giác vuông cân, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
1. Khái niệm Trực tâm
Trực tâm của tam giác là điểm giao nhau của ba đường cao trong tam giác. Tuy nhiên để xác định trực tâm trong tam giác chúng ta không nhất thiết phải vẽ ba đường cao. Khi vẽ hai đường cao của tam giác ta đã có thể xác định được trực tâm của tam giác.
Đối với các loại tam giác thông thường như tam giác nhọn tam giác tù hay tam giác cân tam giác đều thì ta đều có cách xác định trực tâm giống nhau. Từ hai đỉnh của tam giác ta kẻ hai đường cao của tam giác đến hai cạnh đối diện. Hai cạnh đó giao nhau tại điểm nào thì điểm đó chính là trực tâm của tam giác. Và đường cao còn lại chắc chắn cũng đi qua trực tâm của tam giác dù ta không cần kẻ.
Nếu trong một tam giác, có ba đường cao giao nhau tại một điểm thì điểm đó được gọi là trực tâm. Điều này không phải dựa vào mắt thường, mà dựa vào dấu hiệu nhận biết.
+ Đối với tam giác nhọn: Trực tâm nằm ở miền trong tam giác đó
+ Đối với tam giác vuông: Trực tâm chình là đỉnh góc vuông
+ Đối với tam giác tù: Trực tâm nằm ở miền ngoài tam giác đó
2. Khái niệm đường cao của một tam giác
Đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện được gọi là đường cao của tam giác đó, và mỗi tam giác sẽ có ba đường cao.
3. Tính chất ba đường cao của tam giác
– Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó được gọi là trực tâm của tam giác. Trong hình ảnh bên dưới, S là trực tâm của tam giác LMN.
– Ba đường cao của tam giác bao gồm các tính chất cơ bản sau:
*Tính chất 1: Trong một tam giác cân thì đường trung trực ứng với cạnh đáy cũng đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao của tam giác đó.
*Tính chất 2: Trong một tam giác, nếu như có một đường trung tuyến đồng thời là phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.
*Tính chất 3: Trong một tam giác, nếu như có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó là tam giác cân.
*Tính chất 4: Trực tâm của tam giác nhọn ABC sẽ trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác tạo bởi ba đỉnh là chân ba đường cao từ các đỉnh A, B, C đến các cạnh BC, AC, AB tương ứng.
*Tính chất 5: Đường cao tam giác ứng với một đỉnh cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm thứ hai sẽ là đối xứng của trực tâm qua cạnh tương ứng.
*Hệ quả: Trong một tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau.
Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM và đường cao BK. Gọi H là giao điểm của AM và BK. Chứng minh rằng CH vuông góc với AB.
Bài làm
Vì tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM cũng là đường cao của tam giác ABC.
Ta có H là giao điểm của hai đường cao AM và BK nên H là trực tâm của tam giác ABC
Suy ra CH là đường cao của tam giác ABC
Vậy CH vuông góc với AB.
4. Cách xác định trực tâm của tam giác
Trực tâm của tam giác nhọn
Tam giác nhọn ABC có trực tâm H nằm ở miền trong tam giác.
Trực tâm của tam giác vuông
Trực tâm chính là đỉnh góc vuông.
Ví dụ: Tam giác vuông EFG có trực tâm H trùng với góc vuông E.
Trực tâm của tam giác tù
Trực tâm của tam giác tù nằm ở miền ngoài tam giác đó.
Ví dụ: Tam giác tù BCD có trực tâm H nằm ở miền ngoài tam giác
5. Bài tập thực hành có đáp án
A. Trắc nghiệm
Câu 1.
Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B (MA < MB). Vẽ tia Mx vuông góc với AB, trên đó lấy hai điểm C và D sao cho MA = MC, MD = MB.Tia AC cắt BD ở E. Tính số đo góc 
A. 300B. 450C. 600D. 900
Đáp án: D
Câu 2
Cho ΔABC cân tại A, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại I. Tia AI cắt BC tại M. Khi đó ΔMED là tam giác gì?
A. Tam giác cânB. Tam giác vuông cânC. Tam giác vuôngD. Tam giác đều.
Đáp án: A
Câu 3. Cho ΔABC vuông tại A, trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho = = 
. Trên tia đối của tia DB lấy điểm F sao cho DF = BC. Tam giác CDF là tam giác gì?
A. Tam giác cân tại FB. Tam giác vuông tại DC. Tam giác cân tại DD. Tam giác cân tại C
Đáp án: A
Bài 3: Cho ΔABC, hai đường cao BD và CE. Gọi M là trung điểm của BC. Em hãy chọn câu sai:
A. BM = MCB. ME = MDC. DM = MBD. M không thuộc đường trung trực của DE
Giải
Bài 4: Cho ΔABC có AC > AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho CE = AB. Các đường trung trực của BE và AC cắt nhau tại O. Chọn câu đúng
A. ΔABO = ΔCOEB. ΔBOA = ΔCOEC. ΔAOB = ΔCOED. ΔABO = ΔCEO
B, Tự luận
Bài 1
Hãy giải thích tại sao trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.
GIẢI
+ Xét ΔABC vuông tại A
AB ⏊AC ⇒ AB là đường cao ứng với cạnh AC và AC là đường cao ứng với cạnh AB
hay AB, AC là hai đường cao của tam giác ABC.
Mà AB cắt AC tại A
⇒ A là trực tâm của tam giác vuông ABC.
Vậy: trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông
+ Xét ΔABC tù có góc A tù, các đường cao CE, BF (E thuộc AB, F thuộc AC), trực tâm H.
+ Giả sử E nằm giữa A và B, khi đó
90^{circ}+widehat{mathrm{ACE}}+90^{circ} &=180^{circ}+widehat{mathrm{ACE}}>180^{circ} end{aligned}” width=”336″ height=”115″ data-latex=”begin{aligned} &widehat{mathrm{CAE}} equiv widehat{mathrm{CAB}} text { là góc tù. } &text { Trong } triangle mathrm{ACE} text { có } &widehat{mathrm{CAE}}+widehat{mathrm{ACE}}+widehat{mathrm{CEA}}>90^{circ}+widehat{mathrm{ACE}}+90^{circ} &=180^{circ}+widehat{mathrm{ACE}}>180^{circ} end{aligned}” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%26%5Cwidehat%7B%5Cmathrm%7BCAE%7D%7D%20%5Cequiv%20%5Cwidehat%7B%5Cmathrm%7BCAB%7D%7D%20%5Ctext%20%7B%20l%C3%A0%20g%C3%B3c%20t%C3%B9.%20%7D%5C%5C%0A%26%5Ctext%20%7B%20Trong%20%7D%20%5Ctriangle%20%5Cmathrm%7BACE%7D%20%5Ctext%20%7B%20c%C3%B3%20%7D%5C%5C%0A%26%5Cwidehat%7B%5Cmathrm%7BCAE%7D%7D%2B%5Cwidehat%7B%5Cmathrm%7BACE%7D%7D%2B%5Cwidehat%7B%5Cmathrm%7BCEA%7D%7D%3E90%5E%7B%5Ccirc%7D%2B%5Cwidehat%7B%5Cmathrm%7BACE%7D%7D%2B90%5E%7B%5Ccirc%7D%5C%5C%0A%26%3D180%5E%7B%5Ccirc%7D%2B%5Cwidehat%7B%5Cmathrm%7BACE%7D%7D%3E180%5E%7B%5Ccirc%7D%0A%5Cend%7Baligned%7D”>
Vậy E nằm ngoài A và B
⇒ tia CE nằm ngoài tia CA và tia CB ⇒ tia CE nằm bên ngoài ΔABC.
+ Tương tự ta có tia BF nằm bên ngoài ΔABC.
+ Trực tâm H là giao của BF và CE ⇒ H nằm bên ngoài ΔABC.
Vậy : trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.
Bài 2: Cho hình vẽ
Bài 12
Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó.
Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ra trực tâm của tam giác đó.
Giải:
Gọi D, E, F là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B, C của ΔABC.
⇒ AD ⟘ BC, BE ⟘ AC, CF ⟘ AB.
ΔHBC có :
AD ⊥ BC nên AD là đường cao từ H đến BC.
BA ⊥ HC tại F nên BA là đường cao từ B đến HC
CA ⊥ BH tại E nên CA là đường cao từ C đến HB.
AD, BA, CA cắt nhau tại A nên A là trực tâm của ΔHCB.
Bài tập 13:
Cho △ABC có các đường cao AD; BE; CF cắt nhau tại H. I; J lần lượt là trung điểm của AH và BC.
a) Chứng minh: JT⊥EFJT⊥EF
b) Chứng minh: IE⊥JEIE⊥JE
c) Chứng minh: DA là tia phân giác của góc EDF.
d) Gọi P; Q là hai điểm đối xứng của D qua AB và AC
Chứng minh: P; F; E; Q thẳng hàng.
Giải
a) Sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác vuông ta có:
FI = 12AH = EIFJ = 12BC = EJFI = 12AH = EIFJ = 12BC = EJ
Vậy IJ là đường trung trực của EF
b)
c)Tứ giác BFHD và ABDE nội tiếp (đpcm)
d) H là giao điểm 3 phân giác của tam giác EFD
Góc PFB = BFD
Góc DFH = EFH
4 góc này cộng lại = 2.90 =180 => P,E,F thẳng hàng
Tương tự ta có F, E, Q thẳng hàng.
6. Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó. Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ta trực tâm của tam giác đó.
Bài 2: Cho đường tròn (O, R) , gọi BC là dây cung cố định của đường tròn và A là một điểm di động trên đường tròn. Tìm tập hợp trực tâm H của tam giác ABC.
Bài 3: Cho △ABC có các đường cao AD;BE;CF cắt nhau tại H. I; J lần lượt là trung điểm của AH và BC.
a) Chứng minh: IJ ⊥ EF
b) Chứng minh: IE ⊥ JE
Bài 4: Cho △ABC có các đường cao AD;BE;CF cắt nhau tại H. I; J lần lượt là trung điểm của AH và BC.
a) Chứng minh: JT⊥EFJT⊥EF
b) Chứng minh: IE⊥JEIE⊥JE
c) Chứng minh: DA là tia phân giác của góc EDF.
d) Gọi P;Q là hai điểm đối xứng của D qua AB và AC
Chứng minh: P;F;E;Q thẳng hàng.
Bài 5: Cho tam giác ABC với trực tâm H. Chứng minh rằng các điểm đối xứng với H qua các đường thẳng chứa các cạnh hay trung điểm của các cạnh nằm trên đường tròn (ABC).
Bài 6: Cho tam giác ABC với các đường cao AD, BE, CF. Trực tâm H.DF cắt BH tại M, DE cắt CH tại N. chứng minh đường thẳng đi qua A và vuông góc với MN đi qua tâm ngoại tiếp của tam giác HBC.
Bài 7: Cho tứ giác lồi ABCD có 3 góc ở các đỉnh A, B và C bằng nhau. Gọi H và O lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng O, H, D thẳng hàng.
