Bài 1 trang 162 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11
Bằng định nghĩa, tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) (y = 7 + x – x^2) tại (x_0 = 1);
b) (y = x^3- 2x + 1) tại (x_0= 2).
Giải:
a) Giả sử (∆x) là số gia của đối số tại (x_0= 1). Ta có:
(∆y = f(1 + ∆x) – f(1) = 7 + (1 + ∆x) – (1 + ∆x)^2)
(- (7 + 1 – 1^2) = -(∆x)^2- ∆x) ;
( frac{Delta y}{Delta x} = – ∆x – 1) ; (mathop {lim}limits_{Delta xrightarrow 0})( frac{Delta y}{Delta x}) = ( mathop{lim}limits_{Delta xrightarrow 0} (- ∆x – 1) = -1).
Vậy (f'(1) = -1).
b) Giả sử (∆x) là số gia của số đối tại (x_0= 2). Ta có:
(∆y = f(2 + ∆x) – f(2) = (2 + ∆x)^3-2(2 + ∆x) + 1 )(- (2^3- 2.2 + 1) = (∆x)^3+ 6(∆x)^2+ 10∆x);
( frac{Delta y}{Delta x} = (∆x)^2+ 6∆x + 10);
(mathop{ lim}limits_{Delta xrightarrow 0})( frac{Delta y}{Delta x}) = ( mathop{lim}limits_{Delta xrightarrow 0}[(∆x)^2+ 6∆x + 10] = 10).
Vậy (f'(2) = 10).
Bài 2 trang 163 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) (y = x^5- 4 x^3+ 2x – 3);
b) (y = frac{1}{4} – frac{1}{3}x + x^2 – 0,5x^4);
c) (y = frac{x^{4}}{2}) – ( frac{2x^{3}}{3}) + ( frac{4x^{2}}{5} – 1) ;
d) (y = 3x^5(8 – 3x^2)).
Lời giải:
a) (y’ = 5x^4- 12x^2+ 2).
b) (y’ = – frac{1}{3} + 2x – 2x^3)
c) (y’ = 2x^3- 2x^2+ frac{8x}{5}).
d) (y = 24x^5- 9x^7=> y’ = 120x^4- 63x^6).
Bài 3 trang 163 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) (y = {({x^{7}} – 5{x^2})^3});
b)(y = ({x^2} + 1)(5 – 3{x^2}));
c) (y = frac{2x}{x^{2}-1});
d) (y = frac{3-5x}{x^{2}-x+1});
e) (y = left ( m+frac{n}{x^{2}} right )^{3}) ((m, n) là các hằng số).
Lời giải:
a) (y’ = 3.{({x^7} – 5{x^2})^2}.({x^7} – 5{x^2})’ = 3.{({x^{7}} – 5{x^2})^2}.(7{x^6} – 10x))
(= 3x.{({x^{7}} – 5{x^2})^2}(7{x^5} – 10).)
b) (y = 5{x^2} – 3{x^4} + 5 – 3{x^2} = – 3{x^4} + 2{x^2} + 5), do đó (y’ = – 12{x^3} + 4x = – 4x.(3{x^2} – 1)).
c) (y’ = frac{left ( 2x right )’.left ( x^{2}-1 right )-2xleft ( x^{2}-1 right )’}{left ( x^{2}-1 right )^{2}}) = ( frac{2.left ( x^{2}-1 right )-2x.2x}{left ( x^{2}-1 right )^{2}}) = ( frac{-2left ( x^{2}+1 right )}{left ( x^{2}-1 right )^{2}}).
d) (y’ = frac{left ( 3-5x right )’left ( x^{2}-x+1 right )-left ( 3-5x right ).left ( x^{2}-x+1 right )’}{left ( x^{2}-x+1 right )^{2}}) = ( frac{-5left ( x^{2}-x+1 right )-left ( 3-5x right ).left ( 2x-1 right )}{left ( x^{2}-x+1 right )^{2}}) = ( frac{5x^{2}-6x-2}{left ( x^{2}-x+1 right )^{2}}).
e) (y’ = 3. left ( m+frac{n}{x^{2}} right )^{2}) .( left ( m+frac{n}{x^{2}} right )’) = 3.( left ( m+frac{n}{x^{2}} right )^{2}) ( left ( -frac{2n}{x^{3}} right )) = -( frac{6n}{x^{3}}) .( left ( m+frac{n}{x^{2}} right )^{2}).
Bài 4 trang 163 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) (y = x^2 – xsqrt x + 1);
b) (y = sqrt {(2 – 5x – x^2)});
c) (y = frac{x^{3}}{sqrt{a^{2}-x^{2}}}) ( (a) là hằng số);
d) (y = frac{1+x}{sqrt{1-x}}).
Lời giải:
a) (y’ = 2x – left ( sqrt{x}+x.frac{1}{2sqrt{x}} right )) (= 2x – frac{3}{2}sqrt{x}).
b) (y’ =frac{left ( 2-5x-x^{2} right )’}{2.sqrt{2-5x-x^{2}}}) = ( frac{-5-2x}{2sqrt{2-5x-x^{2}}}).
c) (y’ = frac{left ( x^{3} right )’.sqrt{a^{2}-x^{2}}-x^{3}.left ( sqrt{a^{2}-x^{2}} right )}{a^{2}-x^{2}}) = ( frac{3x^{2}.sqrt{a^{2}-x^{2}}-x^{3}.frac{-2x}{2sqrt{a^{2}-x^{2}}}}{a^{2}-x^{2}}) = ( frac{3x^{2}.sqrt{a^{2}-x^{2}}+frac{x^{4}}{sqrt{a^{2}-x^{2}}}}{a^{2}-x^{2}}) = ( frac{x^{2}left ( 3a^{2}-2x^{2} right )}{left ( a^{2} -x^{2}right )sqrt{a^{2}-x^{2}}}).
d) (y’ = frac{left ( 1+x right )’.sqrt{1-x}-left ( 1+x right ).left ( sqrt{1-x} right )’}{1-x}) = ( frac{sqrt{1-x}-left ( 1+x right )frac{-1}{2sqrt{1-x}}}{1-x}) = ( frac{2left ( 1-x right )+1+x}{2left ( 1-x right )sqrt{1-x}}) = ( frac{3-x}{2left ( 1-x right )sqrt{1-x}}).
Bài 5 trang 163 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11
Cho (y = x^3-3x^2+ 2). Tìm (x) để :
a) (y’ > 0)
b) (y’ < 3)
Lời giải:
(y’ = 3x^2- 6x).
a) (y’ > 0 Leftrightarrow 3x^2- 6x >0 Leftrightarrow 3x(x – 2) > 0)
(Leftrightarrow x>2) hoặc (x<0).
b) (y’ < 3 Leftrightarrow 3x^2- 6x -3 < 0 Leftrightarrow x^2- 2x -1 < 0)
(Leftrightarrow 1-sqrt 2 < x < 1+sqrt 2).
Giaibaitap.me
