a) Định nghĩa:
– Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng (at + b = 0) trong đó a,b là các hằng số (left( {a ne 0} right))và t là một trong các hàm số lượng giác.
– Ví dụ:
(begin{array}{l} 2sin x – 1 = 0{mkern 1mu} ;{mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} c{rm{os}}2x + frac{1}{2} = 0;{mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} 3tan x – 1 = 0;{mkern 1mu} {mkern 1mu} sqrt 3 cot x + 1 = 0 end{array})
b) Phương pháp: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản.
a) Dạng phương trình
(begin{array}{l}a{sin ^2}x + bsin x + c = 0a{cos ^2}x + bcos x + c = 0a{tan ^2}x + btan x + c = 0a{cot ^2}x + bcot x + c = 0end{array})
b) Cách giải:
– Đặt: (t = sin x{rm{ ( – 1}} le {rm{t}} le {rm{1)}})
(begin{array}{l}t = cos x{rm{ ( – 1}} le {rm{t}} le {rm{1)}}t = tan xt = cot xend{array})
c) Chú ý:
– Nếu a là một số cho trước mà (tan alpha ) xác định thì phương trình tanx = tana có nghiệm x = (alpha + )kp thoả điều kiện (cos x ne 0).
– Phương trình tanP(x) = tanQ(x) thì cần phải chú ý đến điều kiện cosP(x) (ne) 0 và cosQ(x) (ne) 0.
a) Dạng phương trình (asin x + bcos x = c{rm{ (1)}})
– Điều kiện có nghiệm: ({a^2} + {b^2} ge {c^2})
b) Cách giải:
– Cách 1: Chia hai vế của (1) cho (sqrt {{a^2} + {b^2}} ), ta được: (left( 1 right) Leftrightarrow frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}sin x + frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}cos x = frac{c}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }})
+ Vì ({left( {frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} right)^2} + {left( {frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} right)^2} = 1) nên ta đặt (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{sin varphi = frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}{cos varphi = frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}end{array}} right.)
+ Phương trình trở thành: (sin xsin varphi + cos xcos varphi = frac{c}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }} Leftrightarrow cos left( {x – varphi } right) = frac{c}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }})
+ Đặt (cos alpha = frac{c}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}) ta được phương trình lượng giác cơ bản.
+ Hoàn toàn tương tự ta cũng có thể đặt (left{ begin{array}{l}cos varphi = frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}sin varphi = frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}end{array} right.)
+ Khi đó phương trình trở thành: ({mathop{rm sinxcos}nolimits} varphi + cosxsinvarphi = frac{c}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }} Leftrightarrow sin left( {x + varphi } right) = frac{c}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }})
– Cách 2:
+ Xét (cos frac{x}{2} = 0 Leftrightarrow x = pi + k2pi ,{rm{ k}} in mathbb{Z}) có là nghiệm của (1) không
+ Xét (cos frac{x}{2} ne 0 Leftrightarrow x ne pi + k2pi ,k in mathbb{Z})
+ Đặt (t = tan frac{x}{2}). Khi đó (sin x = frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}) và (cos x = frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}})
+ Phương trình trở thành: (a.frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} + b.frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = c Leftrightarrow left( {b + c} right){t^2} – 2at + c – b = 0{rm{ (2)}})
+ Giải (2) theo t, tìm được t thay vào (t = tan frac{x}{2}) suy ra x
– Cách 3:
+ Nếu (a ne 0) chia 2 vế cho a rồi ta đặt (tan alpha = frac{b}{a}) (left( { – frac{pi }{2} < alpha < frac{pi }{2}} right))
+ Phương trình trở thành: (sin x + frac{{sin alpha }}{{c{rm{os}}alpha }}cos x = frac{c}{a}) ( Leftrightarrow c{rm{os}}alpha sin x + sin alpha cos x = frac{c}{a}c{rm{os}}alpha Leftrightarrow sin (x + alpha ) = frac{c}{a}c{rm{os}}alpha )
+ Đặt (sin varphi = frac{c}{a}cos alpha ) ta được phương trình lượng giác cơ bản (sin (x + alpha ) = sin varphi ).
