Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm là một dạng toán thường gặp trong các bài kiểm tra môn Toán lớp 9 cũng như đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Để giúp các em học sinh nắm chắc kiến thức phần này, VnDoc gửi tới các bạn chuyên đề Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.
I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm
* Cách làm bài toán như sau:
+ Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0)
+ Áp dụng hệ thức Vi-ét để biến đổi biểu thức nghiệm đã cho theo m
+ Một số bất đẳng thức thường dùng:
– Với mọi 
– Bất đẳng thức Cauchy (Cô – Si): với a, b là các số dương ta có:
II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm
Bài 1: Cho phương trình bậc hai x2 + 2 (m+1) x + m2 – m + 1 = 0 (x là ẩn số, m là tham số). Tìm giá trị nhỏ nhất của
Lời giải:
Ta có:
∆’ = b’2 – ac = (m + 1)2 – (m2 – m + 1) = m2 – 2m + 1 – m2 + m – 1 = -m
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ⇔ – m > 0 ⇔ m < 0
Vậy với m < 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét:
Có
A = [-2 (m + 1)]2 – (m2 – m + 1)
A = 4 (m + 1)2 – m2 + m – 1
A = 4m2 + 8m + 4 – m2 + m – 1
A = 3m2 + 9m + 3
A = (m2 + 3m + 1)
Có
Dấu “=” xảy ra
Vậy min
Bài 2: Cho phương trình (x là ẩn số, m là tham số). Tìm m để biểu thức đạt giá trị lớn nhất
Lời giải:
Ta có
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt 0 Leftrightarrow m > – 3″ width=”219″ height=”19″ data-latex=”Leftrightarrow 8m + 24 > 0 Leftrightarrow m > – 3″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5CLeftrightarrow%208m%20%2B%2024%20%3E%200%20%5CLeftrightarrow%20m%20%3E%20%20-%203″>
Vậy với m > – 3 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Vi-ét:
Có B = x1 + x2 – 3x1x2 = 2 (m + 4) – 3 (m2 – 8)
– 3 Leftrightarrow – 3{left( {m + frac{1}{3}} right)^2} le 0forall m > – 3″ width=”453″ height=”52″ data-latex=”{left( {m + frac{1}{3}} right)^2} ge 0forall m > – 3 Leftrightarrow – 3{left( {m + frac{1}{3}} right)^2} le 0forall m > – 3″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%7B%5Cleft(%20%7Bm%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7D%20%5Cright)%5E2%7D%20%5Cge%200%5Cforall%20m%20%3E%20%20-%203%20%5CLeftrightarrow%20%20-%203%7B%5Cleft(%20%7Bm%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7D%20%5Cright)%5E2%7D%20%5Cle%200%5Cforall%20m%20%3E%20%20-%203″>
– 3″ width=”312″ height=”52″ data-latex=”Leftrightarrow – 3{left( {m + frac{1}{3}} right)^2} + frac{{97}}{3} le frac{{97}}{3}forall m > – 3″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5CLeftrightarrow%20%20-%203%7B%5Cleft(%20%7Bm%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7D%20%5Cright)%5E2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B%7B97%7D%7D%7B3%7D%20%5Cle%20%5Cfrac%7B%7B97%7D%7D%7B3%7D%5Cforall%20m%20%3E%20%20-%203″>
Dấu “=” xảy ra
Vậy max
Bài 3: Cho phương trình bậc hai ẩn số x: x2 – 2 (m + 1)x + m – 4 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = |x1 – x2|
Có ∆’ = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + 1 + m + 4 = m2 + 3m + 5
0forall m” width=”461″ height=”52″ data-latex=”= left( {{m^2} + 2.frac{3}{2}.m + frac{9}{4}} right) + frac{{11}}{4} = {left( {m + frac{3}{2}} right)^2} + frac{{11}}{4} > 0forall m” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%3D%20%5Cleft(%20%7B%7Bm%5E2%7D%20%2B%202.%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D.m%20%2B%20%5Cfrac%7B9%7D%7B4%7D%7D%20%5Cright)%20%2B%20%5Cfrac%7B%7B11%7D%7D%7B4%7D%20%3D%20%7B%5Cleft(%20%7Bm%20%2B%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%20%5Cright)%5E2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B%7B11%7D%7D%7B4%7D%20%3E%200%5Cforall%20m”>
Vậy với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét:
Có
M2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = [2(m + 1)]2 – 4 (m – 4)
= 4(m2 + 2m + 1) – 4m + 16
= 4m2 + 8m + 4 – 4m + 16
= 4m2 + 4m + 20 = 4 (m2 + m + 5)
Có
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Vậy min
III. Bài tập tự luyện về bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm
Bài 1: Cho phương trình x2 – 2(m + 4)x + m2 – 8 = 0 (m tham số)
a, Tìm m để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất
b, Tìm m để biểu thức đạt giá trị lớn nhất
Bài 2: Cho phương trình x2 + mx – m – 2 = 0 (x là ẩn số, m là tham số). Tìm m để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 3: Cho phương trình x2 – 2 (m + 2)x + 6m + 3 = 0 (x là ẩn, m là tham số). Tìm giá trị của m để biểu thức có giá trị nhỏ nhất
Bài 4: Cho phương trình x2 – 2 (m + 4)x + m2 – 8 = 0 (x là ẩn, m là tham số)
a, Tìm m để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất
b, Tìm m để biểu thức đạt giá trị lớn nhất
Bài 5: Cho phương trình x2 – mx + m – 1 (m là tham số). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 6: Goi x1, x2 là nghiệm của phương trình 2×2 – 2mx + m2 – 2 = 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = |2x1x2 + x1 + x2 – 4|
Bài 7: Cho phương trình bậc hai x2 – (2m + 1)x + m – 3 = 0. Tìm giá trị của m để biểu thức đạt giá trị lớn nhất
–
Trên đây VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc chuyên đề tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức Toán 9 luyện thi vào lớp 10. Chắc hẳn thông qua tài liệu này, các em học sinh có thể nắm vững các kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm, bên cạnh đó có thể dễ dàng áp dụng vào giải bài tập liên quan tốt hơn.
Ngoài tài liệu trên, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các đề thi học kì 2 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, … và các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với bài tập về chuyên đề này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!
