Bài 5 trang 156 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11

Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (y = x^3):

a) Tại điểm có tọa độ ((-1;-1));

b) Tại điểm có hoành độ bằng (2);

c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng (3).

Giải:

Bằng định nghĩa ta tính được (y’ = 3x^2).

a) (y’ (-1) = 3). Do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng (3). Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm ((-1;-1)) là (y – (-1) = 3[x – (-1)]) hay (y = 3x+2).

b) (y’ (2) = 12). Do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng (12). Ngoài ra ta có (y(2) = 8). Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng (2) là: ( y – 8 = 12(x – 2))

hay (y = 12x -16).

c) Gọi (x_0) là hoành độ tiếp điểm. Ta có:

(y’ (x_0) = 3 Leftrightarrow 3{x_0}^2= 3Leftrightarrow {x_0}^2= 1Leftrightarrow x_0= ±1).

+) Với (x_0= 1) ta có (y(1) = 1), phương trình tiếp tuyến là

( y – 1 = 3(x – 1)) hay (y = 3x – 2).

+) Với (x_0= -1) ta có (y(-1) = -1), phương trình tiếp tuyến là

(y – (-1) = 3[x – (-1)]) hay (y = 3x + 2).

Bài 6 trang 156 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11

Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol (y = frac{1}{x}):

a) Tại điểm (( frac{1}{2} ; 2))

b) Tại điểm có hoành độ bằng (-1);

c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng -( frac{1}{4}).

Giải:

Bằng định nghĩa ta tính được (y’ = – frac{1}{x^{2}}).

a) (y’ left ( frac{1}{2} right )= -4). Do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng (-4). Vậy phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm (( frac{1}{2} ; 2)) là (y – 2 = -4(x – frac{1}{2})) hay (y = -4x + 4).

b) (y’ (-1) = -1). Do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng (-1). Ngoài ra, ta có (y(-1) = -1). Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có tọa độ là (-1) là (y – (-1) = -[x – (-1)]) hay (y = -x – 2).

c) Gọi (x_0) là hoành độ tiếp điểm. Ta có

(y’ (x_0) = – frac{1}{4} Leftrightarrow – frac{1}{x_{0}^{2}} = – frac{1}{4})(Leftrightarrow x_{0}^{2} = 4 Leftrightarrow x_{0}= ±2).

Với (x_{0}= 2) ta có (y(2) = frac{1}{2}), phương trình tiếp tuyến là

(y – frac{1}{2} = – frac{1}{4}(x – 2)) hay (y = frac{1}{4}x + 1).

Với (x_{0} = -2) ta có (y (-2) = – frac{1}{2}), phương trình tiếp tuyến là

(y – left ( -frac{1}{2} right ) = – frac{1}{4}[x – (-2)]) hay (y = – frac{1}{4}x -1)

Bài 7 trang 157 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11

Một vật rơi tự do theo phương trình (s = {1 over 2}g{t^2}) , trong đó (g ≈ 9,8) m/s2 là gia tốc trọng trường.

a) Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t (t = 5s) đến (t + ∆t), trong các trường hợp (∆t = 0,1s; ∆t = 0,05s; ∆t = 0,001s).

b) Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm (t = 5s).

Giải:

a) Vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ (t) đến (t + ∆t) là

(V_{tb}= frac{sleft ( t+Delta t right )-sleft ( t right )}{Delta t}= frac{frac{1}{2}gcdot left ( t+Delta t right )^{2}-frac{1}{2}gcdot t^{2}}{Delta t} ={1 over 2}g(2t + Delta t) approx 4,9.(2t + Delta t))

Với ( t=5) và

+) (∆t = 0,1) thì (v_{tb}≈ 4,9. (10 + 0,1) ≈ 49,49 m/s);

+) (∆t = 0,05) thì (v_{tb}≈ 4,9. (10 + 0,05) ≈ 49,245 m/s);

+) (∆t = 0,001) thì (v_{tb} ≈ 4,9. (10 + 0,001) ≈ 49,005 m/s).

b) Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm (t = 5s) tương ứng với (∆t = 0) nên (v ≈ 4,9 . 10 = 49 m/s).

Giaibaitap.me