Ví dụ 1:
Giải các phương trình sau:
a) (sin left( {frac{{2x}}{3} – frac{pi }{3}} right)=0).
b) (sin x = sin frac{pi }{{12}}).
c) (sin 3x = frac{1}{2}).
d) (sin x = frac{2}{3}).
Lời giải:
a) (sin left( {frac{{2x}}{3} – frac{pi }{3}} right)=0Leftrightarrow frac{{2x}}{3} – frac{pi }{3} = kpi Leftrightarrow ,frac{{2x}}{3} = frac{pi }{3} + kpi)
(Leftrightarrow ,x = frac{pi }{2} + kfrac{{3pi }}{2}), (k in mathbb{Z}.)
Vậy phương trình có các nghiệm là: (,x = frac{pi }{2} + kfrac{{3pi }}{2}), (k in mathbb{Z}.)
b) (sin x = sin frac{pi }{{12}} Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = frac{pi }{{12}} + k2pi x = pi – frac{pi }{{12}} + k2pi end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = frac{pi }{{12}} + k2pi x = frac{{11pi }}{{12}} + k2pi end{array} right.left( {k in mathbb{Z}} right))
Vậy phương trình có các nghiệm là (x = frac{pi }{{12}} + k2pi ,kin mathbb{Z}) và (x = frac{11pi }{{12}} + k2pi ,kin mathbb{Z}.)
c) (sin 3x = frac{1}{2} Leftrightarrow sin 3x = sin frac{pi }{6} Leftrightarrow left[ begin{array}{l} 3x = frac{pi }{6} + k2pi 3x = frac{{5pi }}{6} + k2pi end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = frac{pi }{{18}} + kfrac{{2pi }}{3} x = frac{{5pi }}{{18}} + kfrac{{2pi }}{3} end{array} right.left( {k in mathbb{Z}} right))
Vậy phương trình có các nghiệm là (x = frac{pi }{{18}} + kfrac{{2pi }}{3}, k in mathbb{Z}) và (x = frac{{5pi }}{{18}} + kfrac{{2pi }}{3}, k in mathbb{Z}).
d) (sin x = frac{2}{3} Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = arcsin frac{2}{3} + k2pi x = pi – arcsin frac{2}{3} + k2pi end{array} right.left( {k inmathbb{Z} } right))
Vậy phương trình có các nghiệm là (x = arcsin frac{2}{3} + k2pi,k in mathbb{Z}) và (x = pi – arcsin frac{2}{3} + k2pi, k in mathbb{Z}.)
Ví dụ 2:
Giải các phương trình sau:
a) (cos left( {frac{{3x}}{2} – frac{pi }{4}} right) = – frac{1}{2}).
b) (cos left( {x + {{45}^0}} right) = frac{{sqrt 2 }}{2}).
Lời giải:
a) (cos left( {frac{{3x}}{2} – frac{pi }{4}} right) = – frac{1}{2} Leftrightarrow left[ begin{array}{l} frac{{3x}}{2} – frac{pi }{4} = frac{{2pi }}{3} + k2pi frac{{3x}}{2} – frac{pi }{4} = – frac{{2pi }}{3} + k2pi end{array} right.)(Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = frac{{11pi }}{{18}} + kfrac{{4pi }}{3} x = – frac{{5pi }}{{18}} + kfrac{{4pi }}{3} end{array} right.{mkern 1mu} ,{mkern 1mu} k in mathbb{Z}.)
Vậy phương trình có các nghiệm là: ({x = frac{{11pi }}{{18}} + kfrac{{4pi }}{3}}, k in mathbb{Z}) và ({x = – frac{{5pi }}{{18}} + kfrac{{4pi }}{3}}, k in mathbb{Z}.)
b) (cos left( {x + {{45}^0}} right) = frac{{sqrt 2 }}{2} Leftrightarrow cos left( {x + {{45}^0}} right) = c{rm{os}}{45^0})
(Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x + {45^0} = {45^0} + k{360^0} x + {45^0} = – {45^0} + k{360^0} end{array} right.)(Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = {45^0} + k{360^0} x = – {90^0} + k{360^0} end{array} right.left( {k in mathbb{Z}} right).)
Vậy phương trình có các nghiệm là: ({x = {{45}^0} + k{{360}^0}}, k in mathbb{Z}) và ({x = – {{90}^0} + k{{360}^0}}, k in mathbb{Z}.)
Ví dụ 3:
Giải các phương trình sau:
a) (tan x = tan frac{pi }{3}).
b) (tan (x – {15^0}) = frac{{sqrt 3 }}{3}).
Lời giải:
a) (tan x = tan frac{pi }{3} Leftrightarrow x = frac{pi }{3} + kpi ,left( {k inmathbb{Z} } right).)
b) (tan (x – {15^0}) = frac{{sqrt 3 }}{3} Leftrightarrow) (tan (x – {15^0}) = tan {30^0}Leftrightarrow x = {45^0} + k{180^0} , k in mathbb{Z}.)
Vậy các nghiệm của phương trình là (x = {45^0} + k{180^0} , k in mathbb{Z}.)
ví dụ 4:
Giải các phương trình sau:
a) (cot 4x = ,cot frac{{2pi }}{7}).
b) (cot 4x = – 3.)
c) (cot left( {2x – frac{pi }{6}} right) = frac{1}{{sqrt 3 }}).
Lời giải:
a) (cot 4x = ,cot frac{{2pi }}{7}) (Leftrightarrow 4x = frac{{2pi }}{7}, + ,kpi Leftrightarrow ,x = frac{pi }{{14}} + ,kfrac{pi }{4},,k in mathbb{Z}.)
Vậy các nghiệm của phương trình là: (x = frac{pi }{{14}} + ,kfrac{pi }{4};,k in mathbb{Z}.)
b) (cot 4x = – 3 Leftrightarrow 4x = arctan left( { – 3} right) + kpi Leftrightarrow x = frac{1}{4}arctan left( { – 3} right) + kfrac{pi }{4},left( {k in mathbb{Z}} right).)
Vậy các nghiệm của phương trình là: (x = frac{1}{4}arctan left( { – 3} right) + kfrac{pi }{4},left( {k in mathbb{Z}} right).)
c) (cot left( {2x – frac{pi }{6}} right) = frac{1}{{sqrt 3 }} Leftrightarrow cot left( {2x – frac{pi }{6}} right) = cot frac{pi }{6})
(Leftrightarrow 2x – frac{pi }{6} = frac{pi }{6} + kpi Leftrightarrow 2x = frac{pi }{3} + kpi)
(Leftrightarrow x = frac{pi }{6} + kfrac{pi }{2},left( {k inmathbb{Z} } right).)
Vậy các nghiệm của phương trình là: (x = frac{pi }{6} + kfrac{pi }{2},left( {k inmathbb{Z} } right).)
