Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Mục lục Giải Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Video giải Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Hoạt động 1 trang 18 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm một giá trị của x sao cho 2sinx – 1 = 0.

Lời giải:

Ta có: 2sinx−1=0⇒sinx=12

Do sinπ6=12

⇒π6 là một giá trị của x thỏa mãn 2 sin x – 1 = 0.

Hoạt động 2 trang 19 SGK Toán lớp 11 Đại số: Có giá trị nào của x thỏa mãn phương trình sinx = -2 không?Lời giải:

Theo Bài 1: Hàm số lượng giác, ta đã biết −1≤sin x≤1, mà – 2 < – 1

Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn phương trình sinx = – 2.

Hoạt động 3 trang 21 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:

a) sinx=13;

b) sinx+450=−22.

Lời giải:

Vây phương trình sinx=13 có các nghiệm là:

Vậy phương trình có các nghiệm x=−90°+k360°x=180°+k360°(k∈ℤ).

Hoạt động 4 trang 23 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:

a) cosx=−12;

b) cosx=23;

c) cosx+300=32.

Lời giải:

a) Vì −12=cos2π3

nên cosx=−12 ⇔cosx=cos2π3 ⇔x=±2π3+k2π,k∈ℤ

Vậy các nghiệm của phương trình là x=±2π3+k2π,k∈ℤ.

b) cosx=23⇒x=±arccos23+k2π,k∈ℤ

Vậy các nghiệm của phương trình là x=±arccos23+k2π,k∈ℤ.

c) Vì 32=cos30°

nên cosx+300=32

⇔cosx+30°=cos30°

⇔x+300=±300+k3600,k∈ℤ

⇔x=k360°x=−60°+k360°,k∈ℤ

Vậy các nghiệm của phương trình là x=k360°;x=−60°+k360°,k∈ℤ.

Hoạt động 5 trang 24 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:

a) tan x = 1;

b) tan x = -1;

c) tan x = 0.

Lời giải:

a) tanx= 1⇔tanx=tanπ4⇔x=π4+kπ,  k∈ℤ

Vậy các nghiệm của phương trình là x=π4+kπ,  k∈ℤ.

b) tanx=− 1⇔tanx=tan−π4⇔x=−π4+kπ,  k∈ℤ

Vậy các nghiệm của phương trình là x=−π4+kπ,  k∈ℤ.

c) tanx= 1⇔tanx=tan0⇔x=kπ,  k∈ℤ

Vậy các nghiệm của phương trình là x=kπ,  k∈ℤ.

Hoạt động 6 trang 26 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:

a) cot x = 1;

b) cot x = -1;

c) cot x = 0.

Lời giải:

a) cotx= 1⇔cotx=cotπ4

⇔x=π4+kπ,  k∈ℤ

Vậy các nghiệm của phương trình là x=π4+kπ,  k∈ℤ.

b) cotx=− 1⇔cotx=cot−π4

⇔x=−π4+kπ,  k∈ℤ

Vậy các nghiệm của phương trình là x=−π4+kπ,  k∈ℤ.

c) cotx= 0⇔cotx=cotπ2

⇔x=π2+kπ,  k∈ℤ

Vậy các nghiệm của phương trình là x=π2+kπ,  k∈ℤ.

Bài 1 trang 28 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:

a) sin(x+2)=13;

b) sin 3x = 1;

c) sin2x3−π3=0;

d) sin2x+20°=−32.

Lời giải:

Vậy các nghiệm của phương trình là:

b) sin 3x = 1

⇔3x=π2+k2πk∈ℤ

⇔x=π6+2kπ3(k∈ℤ)

Vậy các nghiệm của phương trình là x=π6+2kπ3(k∈ℤ).

c) sin2x3−π3=0

⇔2×3−π3=kπk∈ℤ

⇔2×3=π3+kπ k∈ℤ

⇔x=π2+k3π2(k∈ℤ)

Vậy các nghiệm của phương trình là x=π2+k3π2(k∈ℤ).

Vậy các nghiệm của phương trình là:

x=−40°+k180°; x=110°+k180°(k∈ℤ)

Bài 2 trang 28 SGK Toán lớp 11 Đại số: Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin 3x và y = sin x bằng nhau?

Lời giải:

Giá trị x cần tìm là nghiệm của phương trình: sin 3x = sin x

Ta có: sin 3x = sin x

⇔3x=x+k2π3x=π−x+k2π k∈ℤ

⇔2x=k2π4x=π+k2πk∈ℤ

⇔x=kπx=π4+kπ2  k∈ℤ

Vậy các giá trị của x thỏa mãn yêu cầu bài toán là x=kπ;  x=π4+kπ2(k∈ℤ).

Bài 3 trang 28 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:

a) cos(x−1)=23;

b) cos 3x = cos 120;

c) cos3x2−π4=−12;

d) cos22x=14.

Lời giải:

Vậy các nghiệm của phương trình là

b) cos 3x = cos 120

⇔3x=120+k36003x=−120+k3600(k∈ℤ)

⇔x=40+k1200x=−40+k1200 (k∈ℤ)

Vậy các nghiệm của phương trình là

x=40+k1200;x=−40+k1200k∈ℤ

Vậy các nghiệm của phương trình là

d) cos22x=14

⇔cos2x=12cos2x=−12

⇔cos2x=cosπ3cos2x=cos2π3

⇔2x=±π3+k2π2x=±2π3+k2π(k∈ℤ)

⇔x=±π6+kπx=±π3+kπ (k∈ℤ)

Vậy các nghiệm của phương trình là

Bài 4 trang 29 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải phương trình sau: 2cos2x1−sin2x=0.

Lời giải:

Điều kiện: sin2x≠1 ⇔2x≠π2+k2π ⇔x≠π4+kπ(k∈ℤ).

Ta có: 2cos2x1−sin2x=0

⇒2cos2x=0

⇔cos2x=0

⇔2x=π2+kπ

⇔x=π4+kπ2(k∈ℤ)

Kiểm tra điều kiện:

Cách 1: π4+kπ2≠π4+lπ ⇔kπ2≠lπ ⇔k2≠l⇔k≠2l

Hay k không thể nhận các giá trị chẵn.

Do đó k lẻ nên k = 2m+1.

Suy ra x=π4+(2m+1)π2=3π4+mπ.

Vậy phương trình có nghiệm x=3π4+mπ,m∈ℤ.

Cách 2: Nghiệm x=3π4+mπ cũng có thể viết thành x=−π4+nπ

Các điểm biểu diễn x=π4+kπ là M1, M2 nhưng điều kiện là x≠π4+kπ nên hai điểm này không lấy.

Các điểm biểu diễn x=π4+kπ2 là M1, M2, M3, M4 nhưng do không lấy hai điểm M1, M2 nên các điểm biểu diễn nghiệm chỉ còn M3, M4.

Dễ thấy hai điểm này đối xứng nhau qua O và AOM4^=−π4 nên nghiệm của phương trình là

x=−π4+kπ,k∈ℤ.

Bài 5 trang 29 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:

a) tanx−15°=33;

b) cot(3x−1)=−3;

c) cos 2x. tan x = 0;

d) sin3x. cotx = 0.

Lời giải:

a) Điều kiện: x−15°≠90°+k180° ⇔x≠105°+k.180°  k∈ℤ.

Ta có: tanx−15°=33

⇔tanx−15°=tan30°

⇔x−15°=30°+k180°,(k∈ℤ)

⇔x=45°+k180°,(k∈ℤ) (thỏa mãn)

Vậy các nghiệm của phương trình là: x=45°+k180°,(k∈ℤ).

b) Điều kiện: sin3x−1≠0 ⇒3x−1≠kπ(k∈ℤ) hay x≠1+kπ3(k∈ℤ)

Ta có: cot(3x−1)=−3

⇔cot(3x−1)=cot−π6

⇔3x−1=−π6+kπ

⇔3x=1−π6+kπ

⇔x=13−π18+kπ3(k∈ℤ) (thỏa mãn)

Vậy các nghiệm của phương trình là x=13−π18+kπ3,(k∈ℤ).

c) Điều kiện cosx≠0⇔x≠π2+kπ(k∈ℤ)

cos 2x. tan x = 0

⇔cos2x=0tanx=0

⇔2x=π2+kπx=kπ

⇔x=π4+kπ2x=kπ(k∈ℤ) (thỏa mãn)

Vậy các nghiệm của phương trình là: x=π4+kπ2(k∈ℤ); x=kπ(k∈ℤ)

d) Điều kiện: sinx≠0 ⇔x≠kπ(k∈ℤ)

Ta có: sin3x. cotx = 0

⇔sin3x=0cotx=0

⇔3x=kπx=π2+nπ

⇔x=kπ3x=π2+nπ (k,n∈ℤ)

Kết hợp với điều kiện:

Biểu diễn các họ nghiệm trên đường tròn lượng giác đế loại nghiệm:

Các nghiệm x=kπ3x=π2+kπ,k∈ℤ được biểu diễn bởi các điểm từ A1 đến A8 trên đường tròn lượng giác như hình dưới.

Với điều kiện x≠kπ nên các điểm A1 và A4 bị loại.

Vậy họ nghiệm chỉ còn lại các điểm A2, A3, A5, A6, A7, A8

Các nghiệm đó là: x=±π3+kπx=π2+kπ,k∈ℤ.

Bài 6 trang 29 SGK Toán lớp 11 Đại số: Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y=tanπ4−x và y = tan 2x bằng nhau?

Lời giải:

Ta có: tanπ4−x=tan2x

Điểu kiện: π4−x≠π2+mπ2x≠π2+mπ ⇔x≠−π4−mπx≠π4+mπ2 ⇔x≠π4+mπ2(m∈Z)

Khi đó phương trình tương đương với:

2x=π4−x+kπ

⇔3x=π4+kπ

⇔x=π12+kπ3(k∈ℤ)

Kết hợp điều kiện ta có:

π12+kπ3≠π4+mπ2

⇔kπ3≠mπ2+π6

⇔2kπ≠3mπ+π

⇔2k≠3m+1

⇔k≠3m+12(k,m∈ℤ)

Vậy phương trình có các nghiệm:

x=π12+kπ3 k≠3m+12,k,m∈Z

Bài 7 trang 29 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:

a) sin3x − cos5x = 0;

b) tan3x. tanx = 1.

Lời giải:

a) sin3x − cos5x = 0

⇔cos5x=sin3x

⇔cos5x=cosπ2−3x

⇔5x=π2−3x+k2π5x=−π2+3x+k2πk∈ℤ

⇔8x=π2+k2π2x=−π2+k2π k∈ℤ

⇔x=π16+kπ4x=−π4+kπ (k∈ℤ)

Vậy các nghiệm phương trình là: x=π16+kπ4(k∈ℤ) và x=−π4+kπ,(k∈ℤ).

b) Điều kiện: cos3x≠0cosx≠0 ⇔3x≠π2+kπx≠π2+kπ ⇔x≠π6+kπ3x≠π2+kπ ⇒x≠π6+kπ3  (k∈ℤ)

Ta có: tan 3x.tan x = 1

⇔tan3x=1tanx

⇔tan3x=cotx

⇔tan3x=tanπ2−x

⇔3x=π2−x+kπ

⇔4x=π2+kπ

⇔x=π8+kπ4  (k∈ℤ) (thỏa mãn)

Vậy nghiệm phương trình là x=π8+kπ4,k∈ℤ.

Bài giảng Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản (Tiết 1)

Bài giảng Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản (Tiết 2)

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Đại số và Giải tích hay, chi tiết khác:

Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Ôn tập chương 1

Bài 1: Quy tắc đếm

Bài 2: Hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp

Bài 3: Nhị thức Niu-tơn

Xem thêm tài liệu Toán lớp 11 Đại số và Giải tích hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản

Trắc nghiệm Phương trình lượng giác cơ bản có đáp án