Toán 8

Câu 1 trang 23 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng minh các đẳng thức sau:

a. ({{{x^2}{y^3}} over 5} = {{7{x^3}{y^4}} over {35xy}})

b. ({{{x^2}left( {x + 2} right)} over {x{{left( {x + 2} right)}^2}}} = {x over {x + 2}})

c. ({{3 – x} over {3 + x}} = {{{x^2} – 6x + 9} over {9 – {x^2}}})

d. ({{{x^3} – 4x} over {10 – 5x}} = {{ – {x^2} – 2x} over 5})

Giải:

a. ({x^2}{y^3}.35xy = 35{x^3}{y^4};5.7{x^3}{y^4} = 35{x^3}{y^4})

( Rightarrow {x^2}{y^3}.35xy = 5.7{x^3}{y^4}). Vậy ({{{x^2}{y^3}} over 5} = {{7{x^3}{y^4}} over {35xy}})

b. ({x^2}left( {x + 2} right).left( {x + 2} right) = {x^2}{left( {x + 2} right)^2};x{left( {x + 2} right)^2}.x = {x^2}{left( {x + 2} right)^2})

( Rightarrow {x^2}left( {x + 2} right).left( {x + 2} right) = x{left( {x + 2} right)^2}x).

Vậy ({{{x^2}left( {x + 2} right)} over {x{{left( {x + 2} right)}^2}}} = {x over {x + 2}})

c. (left( {3 – x} right)left( {9 – {x^2}} right) = 27 – 3{x^2} – 9x + {x^3})

(left( {3 + x} right)left( {{x^2} – 6x + 9} right) = 3{x^2} – 18x + 27 + {x^3} – 6{x^2} + 9x = 27 – 3{x^2} – 9x + {x^3})

( Rightarrow left( {3 – x} right)left( {9 – {x^2}} right) = left( {3 + x} right)left( {{x^2} – 6x + 9} right)).

Vậy ({{3 – x} over {3 + x}} = {{{x^2} – 6x + 9} over {9 – {x^2}}})

d. (left( {{x^3} – 4x} right).5 = 5{x^3} – 20x;left( {10 – 5x} right)left( { – {x^2} – 2x} right) = – 10{x^2} – 20x + 5{x^3} + 10{x^2} = 5{x^3} – 20x)

( Rightarrow left( {{x^3} – 4x} right).5 = left( {10 – 5x} right)left( { – {x^2} – 2x} right))

Vậy ({{{x^3} – 4x} over {10 – 5x}} = {{ – {x^2} – 2x} over 5})

Câu 2 trang 24 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy tìm đa thức A trong mỗi đẳng thức sau:

a. ({A over {2x – 1}} = {{6{x^2} + 3x} over {4{x^2} – 1}})

b. ({{4{x^2} – 3x – 7} over A} = {{4x – 7} over {2x + 3}})

c. ({{4{x^2} – 7x + 3} over {{x^2} – 1}} = {A over {{x^2} + 2x + 1}})

d. ({{{x^2} – 2x} over {2{x^2} – 3x – 2}} = {{{x^2} + 2x} over A})

Giải:

a. ({A over {2x – 1}} = {{6{x^2} + 3x} over {4{x^2} – 1}})

( Rightarrow Aleft( {4{x^2} – 1} right) = left( {2x – 1} right).left( {6{x^2} + 3x} right))

( Rightarrow Aleft( {2x – 1} right)left( {2x + 1} right) = left( {2x – 1} right).3xleft( {2x + 1} right))

( Rightarrow A = 3x)

Ta có: ({{3x} over {2x – 1}} = {{6{x^2} + 3x} over {4{x^2} – 1}})

b. ({{4{x^2} – 3x – 7} over A} = {{4x – 7} over {2x + 3}})

(eqalign{ & Rightarrow left( {4{x^2} – 3x – 7} right)left( {2x + 3} right) = Aleft( {4x – 7} right) cr & Rightarrow left( {4{x^2} + 4x – 7x – 7} right)left( {2x + 3} right) = Aleft( {4x – 7} right) cr & Rightarrow left[ {4xleft( {x + 1} right) – 7left( {x + 1} right)} right]left( {2x + 3} right) = Aleft( {4x – 7} right) cr & Rightarrow left( {x – 1} right)left( {4x – 7} right)left( {2x + 3} right) = Aleft( {4x – 7} right) cr & Rightarrow A = left( {x + 1} right)left( {2x + 3} right) = 2{x^2} + 3x + 2x + 3 = 2{x^2} + 5x + 3 cr} )

Ta có: ({{4{x^2} – 3x – 7} over {2{x^2} + 5x + 3}} = {{4x – 7} over {2x + 3}})

c. ({{4{x^2} – 7x + 3} over {{x^2} – 1}} = {A over {{x^2} + 2x + 1}})

(eqalign{ & Rightarrow left( {4{x^2} – 7x + 3} right).left( {{x^2} + 2x + 1} right) = A.left( {{x^2} – 1} right)left( {{pi over 2} – theta } right) cr & Rightarrow left( {4{x^2} – 4x – 3x + 3} right).{left( {x + 1} right)^2} = Aleft( {x + 1} right)left( {x – 1} right) cr & Rightarrow left[ {4xleft( {x – 1} right) – 3left( {x – 1} right)} right].{left( {x + 1} right)^2} = Aleft( {x + 1} right)left( {x – 1} right) cr & Rightarrow left( {x – 1} right)left( {4x – 3} right){left( {x + 1} right)^2} = Aleft( {x + 1} right)left( {x – 1} right) cr & Rightarrow A = left( {4x – 3} right)left( {x + 1} right) = 4{x^2} + 4x – 3x – 3 = 4{x^2} + x – 3 cr} )

Ta có: ({{4{x^2} – 7x + 3} over {{x^2} – 1}} = {{4{x^2} + x – 3} over {{x^2} + 2x + 1}})

d. ({{{x^2} – 2x} over {2{x^2} – 3x – 2}} = {{{x^2} + 2x} over A})

(eqalign{ & Rightarrow left( {{x^2} – 2x} right).A = left( {2{x^2} – 3x – 2} right)left( {{x^2} + 2x} right) cr & Rightarrow xleft( {x – 2} right).A = left( {2{x^2} – 4x + x – 2} right).xleft( {x + 2} right) cr & Rightarrow xleft( {x – 2} right).A = left[ {2xleft( {x – 2} right) + left( {x – 2} right)} right].xleft( {x + 2} right) cr & Rightarrow xleft( {x – 2} right).A = left( {2x + 1} right)left( {x – 2} right).x.left( {x + 2} right) cr & Rightarrow A = left( {2x + 1} right)left( {x + 2} right) = 2{x^2} + 4x + x + 2 = 2{x^2} + 5x + 2 cr} )

Ta có : ({{{x^2} – 2x} over {2{x^2} – 3x – 2}} = {{{x^2} + 2x} over {{x^2} + 2x + 1}})

Câu 3 trang 24 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Bạn Lan viết các đẳng thức sau và đố các bạn trong nhóm học tập tìm ra chỗ sai. Em hãy sửa chỗ sai cho đúng.

a. ({{5x + 3} over {x – 2}} = {{5{x^2} + 13x + 6} over {{x^2} – 4}})

b. ({{x + 1} over {x + 3}} = {{{x^2} + 3} over {{x^2} + 6x + 9}})

c. ({{{x^2} – 2} over {{x^2} – 1}} = {{x + 2} over {x + 1}})

d. ({{2{x^2} – 5x + 3} over {{x^2} + 3x – 4}} = {{2{x^2} – x – 3} over {{x^2} + 5x + 4}})

Giải:

a. (left( {5x + 3} right)left( {{x^2} – 4} right) = 5{x^3} – 20x + 3{x^3} – 12)

(left( {x – 2} right)left( {5{x^2} + 13x + 6} right) = 5{x^3} + 13{x^2} + 6x – 10{x^2} – 26x – 12 = 5{x^3} – 20x + 3{x^2} – 12)

Đẳng thức đúng.

b. (left( {x + 1} right)left( {{x^2} + 6x + 9} right) = {x^3} + 6{x^2} + 9x + {x^2} + 6x + 9 = {x^3} + 7{x^2} + 15x + 9)

(left( {x + 3} right)left( {{x^2} + 3} right) = {x^3} + 3x + 3{x^2} + 9 Rightarrow left( {x + 1} right)left( {{x^2} + 6x + 9} right) ne left( {x + 3} right)left( {{x^2} + 3} right))

Đẳng thức sai

({{x + 1} over {x + 3}} ne {{{x^2} + 3} over {{x^2} + 6x + 9}}).

Sửa lại ({{x + 1} over {x + 3}} = {{{x^2} + 4x + 3} over {{x^2} + 6x + 9}})

c. (left( {{x^2} – 2} right)left( {x + 1} right) = {x^3} + {x^2} – 2x – 2)

(left( {{x^2} – 1} right)left( {x + 2} right) = {x^3} + 2{x^2} – x – 2)

(left( {{x^2} – 2} right)left( {x + 1} right) ne left( {{x^2} – 1} right)left( {x + 2} right))

Đẳng thức sai

({{{x^2} – 2} over {{x^2} – 1}} = {{x + 2} over {x + 1}}).

Sửa lại ({{{x^2} + x – 2} over {{x^2} – 1}} = {{x + 2} over {x + 1}})

d. (left( {2{x^2} – 5x + 3} right)left( {{x^2} + 5x + 4} right))

( = 2{x^4} + 10{x^3} + 8{x^2} – 5{x^3} – 25{x^2} – 20x + 3{x^2} + 15x + 12)

(eqalign{ & = 2{x^4} + 5{x^3} – 14{x^2} – 5x + 12 cr & left( {{x^2} + 3x – 4} right)left( {2{x^2} – x – 3} right) = 2{x^4} – {x^3} – 3{x^2} + 6{x^3} – 3{x^2} – 9x – 8{x^2} + 4x + 12 cr & = 2{x^4} + 5{x^3} – 14{x^2} – 5x + 12 cr & Rightarrow left( {2{x^2} – 5x + 3} right)left( {{x^2} + 5x + 4} right) = left( {{x^2} + 3x – 4} right)left( {2{x^2} – x – 3} right) cr} )

Đẳng thức đúng

Câu 1.1 trang 24 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Tìm đa thức P để ({{x – 3} over {{x^2} + x + 1}} = {P over {{x^3} – 1}}) .

Phương án nào sau đây là đúng ?

A. (P = {x^2} + 3)

B. (P = {x^2} – 4x + 3)

C. (P = x + 3)

D. (P = {x^2} – x – 3)

Giải:

Chọn B. (P = {x^2} – 4x + 3)

Câu 1.2 trang 24 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Trong mỗi trường hợp sau hãy tìm hai đa thức P và Q thỏa mãn đẳng thức :

a. ({{left( {x + 2} right)P} over {x – 2}} = {{left( {x – 1} right)Q} over {{x^2} – 4}})

b. ({{left( {x + 2} right)P} over {{x^2} – 1}} = {{left( {x – 2} right)Q} over {{x^2} – 2x + 1}})

Giải:

a. ({{left( {x + 2} right)P} over {x – 2}} = {{left( {x – 1} right)Q} over {{x^2} – 4}})

P ( = x – 1) ;Q ( = {left( {x + 2} right)^2} = {x^2} + 4x + 4)

b. ({{left( {x + 2} right)P} over {{x^2} – 1}} = {{left( {x – 2} right)Q} over {{x^2} – 2x + 1}})

P ( = left( {x – 2} right)left( {x + 1} right) = {x^2} – x – 2)

Q ( = left( {x + 2} right)left( {x – 1} right) = {x^2} + x – 2)

Câu 1.3 trang 24 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Cho hai phân thức ({P over Q}) và({R over S}).

Chứng minh rằng :

a. Nếu ({P over Q} = {R over S}) thì ({{P + Q} over Q} = {{R + S} over S})

b. Nếu và P ≠ Q thì R ≠ S và

Giải:

a. ({P over Q} = {R over S}) ( Rightarrow PS = QR) (1). Vì ({P over Q},{R over S}) là phân thức

⇒ Q, S khác không. Cộng vào hai vế của đẳng thức (1) với Q S

P S + Q S = Q R + Q S ⇒ (P + Q). S = Q (R + S)

⇒({{P + Q} over Q} = {{R + S} over S})

b. ({P over Q} = {R over S})⇒ P S = Q R (1) và P ≠ Q, R ≠ S

Trừ từng vế đẳng thức (1) với PR : P S – P R = Q R – P R

⇒ P (S – R) = R (Q – P) ⇒ ({P over {Q – P}} = {R over {S – R}})

Giaibaitap.me

Back to top button