Bài tập tính tích có hướng giữa 2 vecto có đáp án trong không gian oxyz
Bài tập về cách xác định tích có hướng của 2 vecto trong không gian oxyz có đáp án
Bài tập 1: Tính tích có hướng của các cặp vectơ sau:
a) $overrightarrow{a}=left( 1;0;-2 right);overrightarrow{b}=left( 0;1;3 right).$ b) $overrightarrow{a}=left( 3;1;-1 right);overrightarrow{b}=left( 2;1;-2 right).$
c) $overrightarrow{a}=left( -3;1;4 right);overrightarrow{b}=left( 1;-1;2 right).$ d) $overrightarrow{a}=left( 1;3;5 right);overrightarrow{b}=left( 2;-1;3 right).$
Lời giải chi tiết:
a) $left[ overrightarrow{a},overrightarrow{b} right]=left( left| begin{matrix} 0 {} -2 1 {} 3 end{matrix} right|;left| begin{matrix} -2 {} 1 3 {} 0 end{matrix} right|;left| begin{matrix} 1 {} 0 0 {} 1 end{matrix} right| right)=left( 2;-3;1 right).$
b) $left[ overrightarrow{a},overrightarrow{b} right]=left( left| begin{matrix} 1 {} -1 1 {} -2 end{matrix} right|;left| begin{matrix} -1 {} 3 -2 {} 2 end{matrix} right|;left| begin{matrix} 3 {} 1 2 {} 1 end{matrix} right| right)=left( -1;4;1 right).$
c) $left[ overrightarrow{a},overrightarrow{b} right]=left( left| begin{matrix} 1 {} 4 -1 {} 2 end{matrix} right|;left| begin{matrix} 4 {} -3 2 {} 1 end{matrix} right|;left| begin{matrix} -3 {} 1 1 {} -1 end{matrix} right| right)=left( 6;10;2 right).$
d) $left[ overrightarrow{a},overrightarrow{b} right]=left( -4;13;-7 right).$
Bài tập 2:
a) Cho 3 vectơ $overrightarrow{u}=left( 2;-1;1 right);overrightarrow{v}=left( m;3;-1 right);overrightarrow{w}=left( 1;2;1 right).$ Tìm m để 3 vectơ đồng phẳng.
b) Cho 3 vectơ $overrightarrow{u}=left( 1;2;3 right);overrightarrow{v}=left( 2;1;m right);overrightarrow{w}=left( 2;m;1 right).$ Tìm m để 3 vectơ không đồng phẳng.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: $left[ overrightarrow{u},overrightarrow{v} right]=left( -2;m+2;m+6 right)Rightarrow left[ overrightarrow{u},overrightarrow{v} right].overrightarrow{w}=-2+2m+4+m+6=3m+8$
Ba vectơ $overrightarrow{u};,,overrightarrow{v};,,overrightarrow{w}$ đồng phẳng $Leftrightarrow 3m+8=0Leftrightarrow m=-frac{8}{3}.$
b) Ta có: $left[ overrightarrow{u},overrightarrow{v} right]=left( 2m-3;6-m;-3 right)Rightarrow left[ overrightarrow{u},overrightarrow{v} right].overrightarrow{w}=4m-6+6m-{{m}^{2}}-3=-{{m}^{2}}+10m-9$
Để 3 vectơ $overrightarrow{u};,,overrightarrow{v};,,overrightarrow{w}$ không đồng phẳng thì $left[ overrightarrow{u},overrightarrow{v} right].overrightarrow{w}ne 0Leftrightarrow -{{m}^{2}}+10m-9ne 0Leftrightarrow left[ begin{array} {} mne 1 {} mne 9 end{array} right..$
Bài tập 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 điểm: $A,(1;0;1);,,B,(-1;1;2);,$
$C,(-1;1;0);,,D,(2;-1;-2).$
a) Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
b) Tính thể tích tứ diện ABCD. Suy ra độ dài đường cao của tứ diện qua đỉnh A.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: $overrightarrow{AB}=(-2;1;1);,overrightarrow{,AC}=(-2;1;-1);overrightarrow{,AD}=(1;-1;-3).$
Suy ra $left[ overrightarrow{AB},overrightarrow{AC} right]=(-2;-4;0)Rightarrow left[ overrightarrow{AB},overrightarrow{AC} right].overrightarrow{AD}=2ne 0Rightarrow overrightarrow{AB};overrightarrow{AC};overrightarrow{AD}$ không đồng phẳng
Do đó A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
b) Thể tích tứ diện ABCD là: ${{V}_{ABCD}}=frac{1}{6}left| left[ overrightarrow{AB},overrightarrow{AC} right].overrightarrow{AD} right|=frac{1}{3},,(vtt).$
Lại có: $overrightarrow{BC}=(0;0;-2);,,overrightarrow{BD}=(3;-2;-4)Rightarrow left[ overrightarrow{BC},overrightarrow{BD} right]=(-4;-6;0)$
$Rightarrow {{S}_{Delta BCD}}=frac{1}{2}left| left[ overrightarrow{BC},overrightarrow{BD} right] right|=sqrt{13}Rightarrow d(A,(BCD))=frac{3{{V}_{ABCD}}}{{{S}_{Delta BCD}}}=frac{sqrt{13}}{13}.$
Bài tập 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 điểm: $A,(-3;5;15),,,B,(0;0;7),,,C,(2;-1;4),,$
$D,(4;-3;0).$ Chứng minh rằng AB và CD cắt nhau.
Lời giải chi tiết:
Ta có: $overrightarrow{AB}=(3;-5;-8);overrightarrow{,AC}=(5;-6;-11);,,overrightarrow{AD}=(7;-8;-15)$ và $overrightarrow{CD}=(2;-2;-4)$
Do $left[ overrightarrow{AB},overrightarrow{AC} right]=(7;-7;7)Rightarrow left[ overrightarrow{AB},overrightarrow{AC} right].overrightarrow{AD}=0Rightarrow overrightarrow{AB};overrightarrow{,AC};overrightarrow{,AD}$ đồng phẳng (1)
Mặt khác $overrightarrow{AB}ne k.overrightarrow{CD}Rightarrow overrightarrow{AB}$ và $overrightarrow{CD}$ không cùng phương (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB và CD cắt nhau.
Bài tập 5: Cho 3 vectơ $overrightarrow{u}=(3;7;0);,,overrightarrow{v}=(2;3;1);,,overrightarrow{w}=(3;-2;4).$
a) Chứng minh 3 vectơ $overrightarrow{u};,,overrightarrow{v};,,overrightarrow{w}$ không đồng phẳng.
b) Biểu thị vectơ $overrightarrow{a}=(-4;-12;3)$ theo 3 vectơ $overrightarrow{u};overrightarrow{v};overrightarrow{w}.$
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: $left[ overrightarrow{u},overrightarrow{v} right]=(7;-3;-5)Rightarrow left[ overrightarrow{u},overrightarrow{v} right].overrightarrow{w}=7ne 0Rightarrow 3$ vectơ $overrightarrow{u};,,overrightarrow{v};,,overrightarrow{w}$ không đồng phẳng.
b) Giả sử $overrightarrow{a}=m.overrightarrow{u}+n.overrightarrow{v}+p.overrightarrow{w}Leftrightarrow (-4;-12;3)=(3m;7m;0)+(2n;3n;n)+(3p;-2p;4p)$
$Leftrightarrow left{ begin{array} {} 3m+2n+3p=-4 {} 7m+3n-2p=7 {} n+4p=3 end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} m=-5 {} n=7 {} p=-1 end{array} right..$ Vậy $overrightarrow{a}=-5.overrightarrow{u}+7.overrightarrow{v}-overrightarrow{w}.$
Bài tập 6: Cho 4 điểm $A,(1;1;0);,,B,(0;2;1);,,C,(1;0;2);,,D,(1;1;1)$
a) Chứng minh 4 điểm đã cho đồng phẳng, tính thể tích tứ diện ABCD.
b) Tính diện tích các mặt của tứ diện ABCD.
c) Tính độ dài các đường cao của tứ diện ABCD.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: $overrightarrow{AB}=(-1;1;0);,,overrightarrow{AC}=(0;-1;2);,,overrightarrow{AD}=(0;0;1)$
Suy ra $left[ overrightarrow{AB},overrightarrow{AC} right].overrightarrow{AD}=(3;2;1).(0;0;1)=1Rightarrow overrightarrow{AB};,,overrightarrow{AC};,,overrightarrow{AD}$ không đồng phẳng
Do đó 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng
Thể tích tứ diện ABCD là: ${{V}_{ABCD}}=frac{1}{6}left| left[ overrightarrow{AB},overrightarrow{AC} right].overrightarrow{AD} right|=frac{1}{6}.$
b) Ta có: ${{S}_{Delta ABC}}=frac{1}{2}left| left[ overrightarrow{AB},overrightarrow{AC} right] right|=frac{sqrt{14}}{2};,,{{S}_{Delta ACD}}=frac{1}{2}left| left[ overrightarrow{AC},overrightarrow{AD} right] right|=frac{1}{2}.$
${{S}_{Delta ADB}}=frac{1}{2}left| left[ overrightarrow{AD},overrightarrow{AB} right] right|=frac{sqrt{2}}{2};,,{{S}_{Delta BCD}}=frac{1}{2}left| left[ overrightarrow{BC},overrightarrow{BD} right] right|=frac{sqrt{3}}{2}.$
c) Ta có $V=frac{1}{3}ShRightarrow h=frac{3V}{S}.$ Gọi ${{h}_{A}};,,{{h}_{B}};,,{{h}_{C}};,,{{h}_{D}}$ lần lượt là độ dài đường cao hạ từ A, B, C, D của tứ diện thì ta có: ${{h}_{A}}=frac{3V}{{{S}_{BCD}}}=frac{sqrt{3}}{3};,,{{h}_{B}}=frac{3V}{{{S}_{ACD}}}=1;,,{{h}_{C}}=frac{3V}{{{S}_{ABD}}}=frac{1}{sqrt{2}};,,{{h}_{D}}=frac{3V}{{{S}_{ABC}}}=frac{1}{sqrt{14}}.$
Bài tập 7: Cho 3 điểm $A,(1;0;0);,,B,(0;0;1),,text{v }!!grave{mathrm{a}}!!text{ },,C,(2;1;1).$
a) Chứng minh 3 điểm A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác, tính diện tích tam giác đó.
b) Tính độ dài đường cao ${{h}_{A}}$ kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.
Lời giải chi tiết:
a) $overrightarrow{AB}=(-1;0;1);,,overrightarrow{AC}=(1;1;1)Rightarrow left[ overrightarrow{AB},overrightarrow{AC} right]=(-1;2;-1)ne 0Rightarrow overrightarrow{AB};,,overrightarrow{AC}$ không cùng phương hay 3 điểm A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.
Diện tích tam giác $ABC$ là ${{S}_{ABC}}=frac{1}{2}left| left[ overrightarrow{AB},overrightarrow{AC} right] right|=frac{sqrt{6}}{2}.$
b) Ta có: ${{h}_{A}}=frac{2{{S}_{ABC}}}{BC}=frac{sqrt{6}}{sqrt{5}}=frac{sqrt{30}}{5}.$
Bài tập 8: Cho tứ diện ABCD có $A,(2;1;-1),,,B,(3;0;1),,,C,(2;-1;3)$ và điểm D thuộc trục Oy. Biết ${{V}_{ABCD}}=5.$ Tìm tọa độ điểm D.
Lời giải chi tiết:
Gọi $D(0;y;0)in Oy$ ta có: $overrightarrow{AB}=(1;-1;2);,,overrightarrow{AD}=(-2;y-1;1);,,overrightarrow{AC}=(0;-2;4)$
Suy ra $left[ overrightarrow{AB},overrightarrow{AC} right]=(0;-4;-2)Rightarrow left[ overrightarrow{AB},overrightarrow{AC} right].overrightarrow{AD}=-4(y-1)-2=-4y+2$
Do ${{V}_{ABCD}}=5Rightarrow frac{1}{6}.left| -4y+2 right|=5Leftrightarrow left[ begin{array} {} y=-7 {} y=8 end{array} right..$
Vậy $D,(0;-7;0)$ hoặc $D,(0;8;0).$
Bài tập 9: Chứng minh đẳng thức: ${{left| overrightarrow{a} right|}^{2}}.{{left| overrightarrow{b} right|}^{2}}-{{left( overrightarrow{a}.overrightarrow{b} right)}^{2}}={{left| left[ overrightarrow{a},overrightarrow{b} right] right|}^{2}}.$
Lời giải chi tiết:
Ta có: $text{VT}={{left| overrightarrow{a} right|}^{2}}.{{left| overrightarrow{b} right|}^{2}}-{{left| overrightarrow{a} right|}^{2}}.{{left| overrightarrow{b} right|}^{2}}{{cos }^{2}}(overrightarrow{a},overrightarrow{b})={{left| overrightarrow{a} right|}^{2}}.{{left| overrightarrow{b} right|}^{2}}left( 1-{{cos }^{2}}left( overrightarrow{a},overrightarrow{b} right) right)={{left| overrightarrow{a} right|}^{2}}.{{left| overrightarrow{b} right|}^{2}}.{{sin }^{2}}left( overrightarrow{a},overrightarrow{b} right)$
Lại có: $left| left[ overrightarrow{a},overrightarrow{b} right] right|=left| overrightarrow{a} right|.left| overrightarrow{b} right|.sin left( overrightarrow{a},overrightarrow{b} right)$
Do đó ${{left| overrightarrow{a} right|}^{2}}.{{left| overrightarrow{b} right|}^{2}}-{{left( overrightarrow{a}.overrightarrow{b} right)}^{2}}={{left| left[ overrightarrow{a},overrightarrow{b} right] right|}^{2}},$ (đpcm).
Bài tập 10: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 3 vectơ $overrightarrow{a,}(m+2;3;2m);,,overrightarrow{b,}(2;-1;m);,,overrightarrow{c},(1;2;1)$. Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để 3 vectơ trên đồng phẳng. Số phần tử của tập hợp S là:
a) 0. b) 1. c) 2. d) 3.
Lời giải chi tiết:
Ta có: $left[ overrightarrow{a},overrightarrow{b} right]=left( 5m;2m-{{m}^{2}};-m-8 right)$
Ba vectơ đã cho đồng phẳng khi $left[ overrightarrow{a},overrightarrow{b} right].overrightarrow{c}=0Leftrightarrow 5m+4m-2{{m}^{2}}-m-8=0$
$Leftrightarrow -2{{m}^{2}}+8m-8=0Leftrightarrow m=2.$
Do đó tập hợp S có một phần tử. Chọn B.
Bài tập 11: Cho 2 vectơ $overrightarrow{u}=(1;2;-1);,,overrightarrow{v}=(1;-3;x).$ Tìm x biết rằng $left| left[ overrightarrow{u},overrightarrow{v} right] right|=sqrt{30}.$
A. $x=-1.$ B. $x=1.$ C. $x=-2.$ D. $x=2.$ .
Lời giải chi tiết:
Ta có: $left[ overrightarrow{u},overrightarrow{v} right]=(2x-3;x+1;-5)$
Do đó $left| left[ overrightarrow{u},overrightarrow{v} right] right|=sqrt{{{(2x-3)}^{2}}+{{(x+1)}^{2}}+25}=30Leftrightarrow 5{{x}^{2}}-10x+5=0Leftrightarrow x=1.$ Chọn B.
Bài tập 12: Cho 3 vectơ $overrightarrow{u}=(1;x;-1);,,,overrightarrow{v}=(0;2;1);,,,overrightarrow{w}=(x;7;2).$Tìm x biết rằng $left[ overrightarrow{u},overrightarrow{v} right].overrightarrow{w}=0.$
A. $x=pm 1.$ B. $x=pm 3.$ C. $left[ begin{array} {} x=1 {} x=-3 end{array} right..$ D. $left[ begin{array} {} x=3 {} x=1 end{array} right..$
Lời giải chi tiết:
$left[ overrightarrow{u},overrightarrow{v} right]=(x+2;-1;2)Rightarrow left[ overrightarrow{u},overrightarrow{v} right].overrightarrow{w}={{x}^{2}}+2x-7+4=0Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-3=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=1 {} x=-3 end{array} right..$ Chọn C.
Bài tập 13: Cho 2 vectơ $overrightarrow{u}$ và $overrightarrow{v}$ biết $left| overrightarrow{u} right|=sqrt{2};,,,left| overrightarrow{v} right|=3.$ Góc giữa 2 vectơ $overrightarrow{u}$ và $overrightarrow{v}$ là ${{45}^{o}}$, độ dài vectơ $left[ 5overrightarrow{u},-3overrightarrow{v} right]$ là:
A. $7sqrt{2}.$ B. 15. C. $15sqrt{2}.$ D. 45.
Lời giải chi tiết:
Do $left( overrightarrow{u},overrightarrow{v} right)={{45}^{o}}Rightarrow left( 5overrightarrow{u},-3overrightarrow{v} right)={{135}^{o}}.$
Ta có: $left| left[ 5overrightarrow{u},-3overrightarrow{v} right] right|=left| 5overrightarrow{u} right|.left| -3overrightarrow{v} right|.sin left( 5overrightarrow{u},-3overrightarrow{v} right)=5sqrt{2}.9.sin {{135}^{0}}=45.$ Chọn D.
Bài tập 14: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm $A,(3;1;-1);,,B,(1;0;2);,,C,(5;0;0).$ Tính diện tích tam giác ABC.
A. $sqrt{21}.$ B. $frac{sqrt{21}}{3}.$ C. $sqrt{42}.$ D. $2sqrt{21}.$
Lời giải chi tiết:
Ta có: $overrightarrow{AB}=(-2;-1;3);,,overrightarrow{AC}=(2;-1;1)Rightarrow left[ overrightarrow{AB},overrightarrow{AC} right]=(2;8;4).$
Vậy diện tích tam giác ABC là ${{S}_{ABC}}=frac{1}{2}.left| left[ overrightarrow{AB},overrightarrow{AC} right] right|=sqrt{21}.$ Chọn A.
Bài tập 15: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 4 điểm $A,(0;1;1);,,B,(-1;0;2);,,C,(-1;1;1);,,D,(1;4;7).$ Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC) là:
A. ${{h}_{D}}=frac{9sqrt{2}}{2}.$ B. ${{h}_{D}}=9.$ C. ${{h}_{D}}=frac{9sqrt{2}}{4}.$ D. ${{h}_{D}}=9sqrt{2}.$
Lời giải chi tiết:
Ta có: $overrightarrow{AB}=(-1;-1;1);,,overrightarrow{AC}=(-1;0;0);,,overrightarrow{AD}=(1;3;6)$
Lại có: $left[ overrightarrow{AB},overrightarrow{AC} right]=left( 0;-1;-1 right)Rightarrow {{V}_{ABCD}}=frac{1}{6}left| left[ overrightarrow{AB},overrightarrow{AC} right].overrightarrow{AD} right|=frac{3}{2}.$
Mặt khác: ${{S}_{Delta ABC}}=frac{1}{2}left| left[ overrightarrow{AB},overrightarrow{AC} right] right|=frac{sqrt{2}}{2}Rightarrow {{d}_{(D;(ABC))}}={{h}_{D}}=frac{3V}{{{S}_{ABC}}}=frac{9}{sqrt{2}}=frac{9sqrt{2}}{2}.$ Chọn A.
Bài tập 16: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 3 điểm $A,(1;1;1),,,B,(-1;7;-3),,,C,(m+1;m;0).$ Biết diện tích tam giác ABC bằng $3sqrt{3}.$ Tổng tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải chi tiết:
Ta có: $overrightarrow{AB}=(-2;6;-4);,,overrightarrow{AC}=(m;m-1;-1)$
Khi đó $left[ overrightarrow{AB},overrightarrow{AC} right]=(4m-10;2+4m;-8m+2)$
$Rightarrow {{S}_{ABC}}=frac{1}{2}left| left[ overrightarrow{AB},overrightarrow{AC} right] right|=frac{1}{2}sqrt{{{(4m-10)}^{2}}+{{(2+4m)}^{2}}+{{(-8m+2)}^{2}}}=3sqrt{3}.$ $Leftrightarrow sqrt{{{(2m-5)}^{2}}+{{(1+2m)}^{2}}+{{(-4m+1)}^{2}}}=3sqrt{3}Leftrightarrow 24{{m}^{2}}-24m+27=27Leftrightarrow left[ begin{array} {} m=1 {} m=0 end{array} right.Rightarrow T=1.$ Chọn A.
Bài tập 17: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 4 điểm $A,(m-1;m;2m-1);,,B,(-1;0;2);,,C,(-1;1;0);,,D,(2;1;-2).$ Biết thể tích của tứ diện ABCD bằng $frac{5}{6}$ . Tổng tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
A. 1. B. $frac{9}{7}.$ C. 9. D. $frac{5}{7}.$
Lời giải chi tiết:
Ta có: $overrightarrow{BC}=(0;1;-2);overrightarrow{BD}=(3;1;-4)Rightarrow left[ overrightarrow{BC},overrightarrow{BD} right]=(-2;-6;-3)$
Lại có: $overrightarrow{BA}=(m;m;2m-3)Rightarrow {{V}_{ABCD}}=frac{1}{6}left| left[ overrightarrow{BC},overrightarrow{BD} right].overrightarrow{BA} right|=frac{1}{6}left| -2m-6m-6m+9 right|$
$=frac{1}{6}left| -14m+9 right|=frac{5}{6}Leftrightarrow left| 9-14m right|=5Leftrightarrow left[ begin{array} {} m=1 {} m=frac{2}{7} end{array} right..$ Chọn B.
Ví dụ 18: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 3 điểm $A,(1;1;1);,,B,(-1;7;-3);,,C,(2;1;0).$ Tìm điểm D thuộc Oz sao cho bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.
A. $D,(1;2;0).$ B. $D,(0;0;3).$ C. $D,(0;0;-3).$ D. $D,(0;0;2).$
Lời giải:
Do điểm $Din OzRightarrow D,(0;0;d)$
Ta có: $overrightarrow{AB}=(-2;6;-4);,,overrightarrow{AC}=(1;0;-1);,,overrightarrow{AD}=(-1;-1;d-1)$
Để bốn điểm A, B, C, D đổng phẳng thì $left[ overrightarrow{AB},overrightarrow{AC} right].overrightarrow{AD}=0$
$Leftrightarrow (-6;-6;-6).(-1;-1;d-1)=0Leftrightarrow 6+6-6d+6=0Leftrightarrow d=3Rightarrow D,(0;0;3).$ Chọn B.
Ví dụ 19: Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm $A,(1;0;3);,,B,(-1;2;1);,,C,(0;1;4).$ Biết $H({{x}_{o}};{{y}_{o}};{{z}_{o}})$ là trực tâm của tam giác ABC. Tính $P={{x}_{o}}-{{y}_{o}}.$
A. $P=1.$ B. $P=frac{-1}{2}.$ C. $P=frac{1}{2}.$ D. $P=2.$
Lời giải:
Gọi $H,(a;b;c)$ là trực tâm tam giác ABC thì $overrightarrow{AB};,,overrightarrow{AC};,,overrightarrow{AH}$ đồng phẳng
Ta có: $overrightarrow{AB}(-2;2;-2)=-2(1;-1;1);,,overrightarrow{AC}=(-1;1;1);$
$overrightarrow{CH}=(a;b-1;c-4);,,overrightarrow{BH}=(a+1;b-2;c-1);,,overrightarrow{AH}=(a-1;b;c-3)$
Suy ra $left[ overrightarrow{AB},overrightarrow{AC} right]=(4;4;0)=4(1;1;0)$
Mặt khác $left{ begin{array} {} left[ overrightarrow{AB},overrightarrow{AC} right]overrightarrow{AH}=0 {} overrightarrow{CH}.overrightarrow{AB}=0 {} overrightarrow{BH}.overrightarrow{AC}=0 end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} a+b-1=0 {} a-b+1+c-4=0 {} -a-1+b-2+c-1=0 end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} a=frac{1}{4} {} b=frac{3}{4} {} c=frac{7}{2} end{array} right.Rightarrow P=-frac{1}{2}.$ Chọn B.
Ví dụ 20: Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm $A,(2;0;-2);,,B,(3;-1;-4);,,C,(-2;2;0).$ Điểm D nằm trong mặt phẳng (Oyz) có cao độ âm sao cho thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 2 và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) bằng 1. Khi đó có tọa độ điểm D thỏa mãn bài toán là
A. $D,(0;3;-1).$ B. $D,(0;-3;-1).$ C. $D,(0;1;-1).$ D. $D,(0;2;-1).$
Lời giải:
Vì $Din (Oyz)Rightarrow D,(0;b;c),$do cao độ âm nên c < 0.
Khoảng cách từ D đến mặt phẳng $left| c right|$ và bằng 1 $Rightarrow left| c right|=1Rightarrow c=-1$ (do c < 0)$Rightarrow D,(0;b;-1).$
Ta có $left{ begin{array} {} overrightarrow{AB}=(1;-1;-2) {} overrightarrow{AC}=(-4;2;2) {} overrightarrow{AD}=(-2;b;1) end{array} right.Rightarrow left[ overrightarrow{AB},overrightarrow{AC} right]=(2;6;-2)Rightarrow left[ overrightarrow{AB},overrightarrow{AC} right].overrightarrow{AD}=-4+6b-2=6b-6=6(b-1)$
$Rightarrow {{V}_{ABCD}}=frac{1}{6}left| left[ overrightarrow{AB},overrightarrow{AC} right].overrightarrow{AD} right|=left| b-1 right|$
Mặt khác ${{V}_{ABCD}}=2Leftrightarrow left| b-1 right|=2Leftrightarrow left[ begin{array} {} b=3 {} b=-1 end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array} {} D,(0;3;-1) {} D,(0;-1;-1) end{array} right..$ Chọn A.
