Toán học

Tính chất đường cao trong tam giác đều & các dạng bài tập áp dụng

Đường cao tam giác đều có tính chất gì khác với đường cao trong tam giác thường và tam giác cân? Có các dạng bài tập nào liên quan đến đường cao trong tam giác đều? Chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây nhé.

1. Nhắc lại định nghĩa về đường cao của tam giác

– Đường cao trong tam giác là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh của tam giác và vuông góc với cạnh đối diện. Nghĩa là từ một đỉnh bất kì ta hạ vuông góc xuống cạnh đối diện.

– Cạnh đối diện đó được gọi là cạnh đáy ứng với chiều cao.

– Một số tính chất chung:

+ Mỗi tam giác có ba đường cao được kẻ từ ba đỉnh của tam giác

+ Ba đường cao này cắt nhau tại một điểm và điểm đó được gọi là trực tâm của tam giác.

*Chú ý: Khi làm bài tập, để chứng minh một điểm là trực tâm của tam giác thì ta chỉ cần chứng minh hai đường cao cắt nhau tại một điểm thì điểm đó chính là trực tâm của tam giác

» Xem thêm: Đường cao của tam giác là gì? Khái niệm và tính chất

2. Tính chất đường cao trong tam giác đều

cac-tinh-chat-cua-duong-cao-trong-tam-giac-deu-cuc-chi-tiet-1– Các đường cao tam giác đều đồng thời sẽ là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực.

Các đường cao MA, PB, NC đồng thời cũng là

+ Các trung tuyến MA, PB, NC

+ Các đường phân giác MA, PB, NC

+ Các đường trung trực MA, PB, NC

+ Ba đường cao cắt nhau tại điểm I, điểm I này chính là trực tâm của tam giác MNP

– Mỗi đường cao tam giác đều sẽ chia tam giác đó thành hai tam giác vuông có diện tích bằng nhau.

– Mỗi đường cao tam giác đều sẽ chia góc ở đỉnh của tam giác thành hai góc bằng nhau và bằng 30 độ.

– Mỗi đường cao tam giác đều sẽ đi qua trung điểm của cạnh đối diện

3. Bài tập áp dụng công thức đường cao tam giác đều

3.1. Dạng 1: Một số câu hỏi trắc nghiệm củng cố lý thuyết về đường cao tam giác đều

*Phương pháp giải:

Dựa vào phần lý thuyết đã nêu trên để chọn đáp án đúng.

Bài tập luyện tập

Câu 1: Cho tam giác MNP đều có đường cao MH thì:

A. H là trung điểm của NP

B. H là trung điểm của MN

C. H là trung điểm của MP

ĐÁP ÁN

Dựa vào tính chất đường cao trong tam giác đều ta chọn đáp án đúng là A

Câu 2: Giao điểm của ba đường cao trong tam giác được gọi là:

A. Trọng tâm

B. Tâm đường tròn nội tiếp tám giác

C. Trực tâm

D. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

ĐÁP ÁN

Dựa vào tính chất:

Ba đường cao này cắt nhau tại một điểm và điểm đó được gọi là trực tâm của tam giác.

⇒ Chọn đáp án C

Câu 3: Tam giác MNP có đường cao NK thì:

A. Góc ở đỉnh N được chia thành hai góc bằng nhau và mỗi góc bằng 60 độ

B. Góc ở đỉnh N được chia thành hai góc bằng nhau và mỗi góc bằng 30 độ

C. Góc ở đỉnh N được chia thành hai góc bằng nhau và mỗi góc bằng 40 độ

D. Góc ở đỉnh N được chia thành hai góc bằng nhau và mỗi góc bằng 50 độ

ĐÁP ÁN

Dựa vào tính chất

Mỗi đường cao trong tam giác đều sẽ chia góc ở đỉnh của tam giác thành hai góc bằng nhau và bằng 30 độ.

⇒ Chọn đáp án B

3.2. Dạng 2: Dạng bài tập chứng minh

*Phương pháp giải:

Dựa vào các tính chất của đường cao trong tam giác đều chứng minh theo yêu câu bài toán.

Bài tập luyện tập

Bài 1: Cho tam giác MNP đều, có ME là đường phân giác kẻ từ đỉnh M, ND là đường phân giác kẻ từ đỉnh N. ME cắt ND tại F Chứng minh rằng: F là trực tâm của tam giác MNP

ĐÁP ÁN

cac-tinh-chat-cua-duong-cao-trong-tam-giac-deu-cuc-chi-tiet-2

Nhắc lại chú ý:

Để chứng minh một điểm là trực tâm của tam giác thì ta chỉ cần chứng minh hai đường cao cắt nhau tại một điểm thì điểm đó chính là trực tâm của tam giác

Ta có: MNP là tam giác đều

ME là đường phân giác đồng thời là đường cao trong tam giác

=>

ND là đường phân giác đồng thời là đường cao trong tam giác

=>

Mà hai đường cao ME và ND cắt nhau tại F

=> F là trực tâm của tam giác MNP (đpcm)

Bài 2: Cho tam giác MNP cân tại đỉnh M có góc M bằng 60 độ. Biết MA là đường trung tuyến của tam giác. Từ M kẻ đường thẳng MB vuông góc với MA sao cho MB = NP.

a) Chứng minh rằng: MB // NP

b) Chứng minh rằng: MN = BP

ĐÁP ÁN

cac-tinh-chat-cua-duong-cao-trong-tam-giac-deu-cuc-chi-tiet-3

a) Chứng minh rằng: MB // NP

Vì tam giác MNP cân tại đỉnh M có góc M bằng 60 độ

=> tam giác MNP là tam giác đều

=> MA là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác

=> (1)

Theo đề bài, ta có: (2)

Từ (1) và (2), suy ra: MB // NP (đpcm)

b) Chứng minh rằng: MN = BP

Cách 1:

Xét hai tam giác MPN và PMB có:

MB chung

MB = NP (gt)

=>

=> MN = PB (cạnh tương ứng)

Cách 2:

Theo phần a, ta có: MB // NP

Mà MB = NP (giả thiết)

=> MBPN là hình bình hành

=> MN = PB (tính chất)

3.3. Dạng 3: Dạng bài tập tính toán liên quan đến đường cao trong tam giác đều

*Phương pháp giải:

Dựa vào khái niệm và các tính chất của đường cao, đường trung tuyến trong tam giác đều, yêu cầu của bài toán để giải bài toán.

Bài tập luyện tập

Bài 1: Cho tam giác MNP đều, từ đỉnh A kẻ đường trung tuyến MA. Biết MP = 5 cm, PA = 3 cm. Tính độ dài đường trung tuyến MA

ĐÁP ÁN

cac-tinh-chat-cua-duong-cao-trong-tam-giac-deu-cuc-chi-tiet-4

Ta có: MNP là tam giác đều

=> MA là trung tuyến đồng thời là đường cao

=>

=> tam giác MAP vuông tại A

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác MAP vuông tại A, ta có:

MP2 = MA2 + AP2 => MA2 = MP2 – AP2 = 52 – 32 = 16

=> MA = 4 cm

Vậy độ dài đường trung tuyến MA là 4 cm

Bài 2: Cho tam giác MNP đều, có hai đường cao MA và NF, I là trực tâm tam giác MNP. Biết IF = 2 cm, FB = 4 cm. Tính NP

ĐÁP ÁN

cac-tinh-chat-cua-duong-cao-trong-tam-giac-deu-cuc-chi-tiet-5

Ta có: tam giác MNP đều

=> NF là đường cao đồng thời là trung tuyến

Và I là trực tâm đồng thời là trọng tâm

=> NF = 3IF = 3.2 = 6 cm

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác NFB vuông tại F, ta được

NF2 + FP2 = NP2 => NP2 = 62 + 42 = 52

=> cm

Như vậy, bài viết trên đã tổng hợp toàn bộ định nghĩa, tính chất đường cao trong tam giác đều và các dạng bài tập dễ hiểu liên quan. Chúc các bạn học sinh học thật tốt.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang

Back to top button