Ở những bài học trước, chúng ta đã được học về hình nón cũng như hình nón cụt. Trong bài học hôm nay, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về một khái niệm quan trọng trong hình học không gian nói chung và hình nón nói riêng: Diện tích toàn phần của hình nón và hình nón cụt.
1. Nhắc lại về hình nón và hình nón cụt
1.1. Khái niệm hình nón
Cho tam giác ABC vuông tại A. Hình nón a được tạo thành khi ta quay tam giác ABC quay cạnh góc vuông AC (xem hình dưới).
Trong đó:
– Đáy của hình nón là hình tròn tâm A, bán kính AB.
– C là đỉnh của hình nón.
– AC là đường cao của hình nón.
– Cạnh BC tạo nên mặt xung quanh của hình nón. Tất cả các cạnh nằm trên mặt xung quanh được gọi là đường sinh. BC là một đường sinh.
Chúng ta cùng xem một số ví dụ dưới đây về hình nón cụt.
Ví dụ 1:
– Hình nón trên có đỉnh là điểm A.
– Mặt đáy là hình tròn tâm B, bán kính BC.
– Đường cao của hình nón là cạnh AB.
– Đường sinh của hình nón là cạnh AC và cạnh AD.
Ví dụ 2:
– Hình nón trên có đỉnh là điểm M.
– Mặt đáy là hình tròn tâm N, bán kính NP.
– Đường cao của hình nón là cạnh MN.
– Đường sinh của hình nón là cạnh MP và cạnh MQ.
1.2. Khái niệm hình nón cụt
Khi ta cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy thì khi đó ta được hình nón cụt là phần nằm giữa mặt cắt và đáy (xem hình bên dưới)
Ta có hình nón cụt với đường cao AC, bán kính đáy lớn là AF, bán kính đáy bé là CD và đường sinh DF.
Sau đây, chúng ta cùng tìm hiểu công thức tính diện tích toàn phần của hình nón và hình nón cụt trong phần 2.
2. Công thức diện tích toàn phần hình nón – hình nón cụt
Khi tìm hiểu về hình nón và hình nón cụt, không thể bỏ qua công thức diện tích toàn phần của chúng. Hãy cùng đi sâu vào công thức và khám phá áp dụng công thức này để tính toán giải bài tập về diện tích toàn phần của hình nón và hình nón cụt.
2.1. Diện tích toàn phần của hình nón
– Diện tích xung quanh của hình nón là: , trong đó r là bán kính đáy, l là đường sinh.
– Diện tích toàn phần của hình nón bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích đáy. Vì đáy của hình nón là một hình tròn nên ta có công thức diện tích toàn phần như sau:
Chúng ta cùng xem một số ví dụ về tính diện tích toàn phần của hình nón
a. Tính diện tích toàn phần hình nón khi biết l, r
Ví dụ 1: Tính diện tích toàn phần của hình nón sau, biết AB = 4, AC = 3, BC = 5
Ta có:
r = AC = 3
l = BC = 5
Diện tích toàn phần của hình nón được tính bởi công thức:
Ví dụ 2: Tính diện tích toàn phần của hình nón sau, biết AB = 3, AC = 3, BC =
Ta có:
r = AC = 3
l = BC =
Diện tích toàn phần của hình nón:
Ví dụ 3: Tính diện tích toàn phần của hình nón sau, biết AB = 3, AC = 5
Ta có:
r = AB = 3
l = BC
Dùng định lý Pytago để tính số đo cạnh BC:
Diện tích toàn phần của hình nón:
b. Tính diện tích toàn phần của hình nón khi biết r,h hoặc l,h
Ví dụ 4: Tính diện tích toàn phần của hình nón sau, biết AB = 6, AC = 3
Ta có:
r = AC = 3
l = BC
Dùng định lý Pytago để tính số đo cạnh BC:
Diện tích toàn phần của hình nón:
2.2. Diện tích toàn phần hình nón cụt
– Diện tích xung quanh của hình nón cụt là: trong đó r1 là bán kính đáy bé, r2 là bán kính đáy lớn, l là đường sinh.
– Diện tích toàn phần của hình nón cụt bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích đáy. Vì hai đáy của hình nón cụt là một hình tròn nên ta có công thức diện tích toàn phần như sau:
Chúng ta cùng xem một số ví dụ về tính diện tích toàn phần của hình nón cụt
Ví dụ 1: Tính diện tích hình nón cụt dưới đây, biết AC = 2, AF = 4, CD = 2, DF = 3
Ta có:
= CD = 2
= AF = 4
l = DF = 3
Diện tích toàn phần của hình nón cụt:
Ví dụ 3: Tính diện tích hình nón cụt dưới đây, biết AC = , CE = 3, AD = 6, DE =
Ta có:
= AD = 6
= CE = 3
l = DE =
Diện tích toàn phần của hình nón cụt:
3. Các bài tập về diện tích toàn phần của hình nón và hình nón cụt
Bài 1: Tính diện tích toàn phần của hình nón biết đường cao h, đường sinh l và bán kính r có chiều dài là
a. h = 5, l = , r = 7
b. h = , l = , r = 5
c. h = 6, l = , r = 1
d. h = 4, l = , r = 2
ĐÁP ÁN
a.
Ta có:
r = 7
l =
Diện tích toàn phần của hình nón:
b.
Ta có:
r = 5
l =
Diện tích toàn phần của hình nón:
c.
Ta có:
r = 1
l =
Diện tích toàn phần của hình nón:
d.
Ta có:
r = 2
l =
Diện tích toàn phần của hình nón:
Bài 2: Tính diện tích toàn phần của hình nón biết đường cao h, đường sinh l, bán kính r1 và r2 có chiều dài là
a. h = 4, l = 5, r1 = 3, r2 = 6
b. h = 7, l = 10, r1 = 2, r2 = 5
c. h = 4, l = 6, r1 = 1, r2 = 3
d. h = 7, l = 9, r1 = 5, r2 = 8
ĐÁP ÁN
a.
Ta có:
= 3
= 6
l = 5
Diện tích toàn phần của hình nón cụt:
b.
Ta có:
= 2
= 5
l = 10
Diện tích toàn phần của hình nón cụt:
c.
Ta có:
= 1
= 3
l = 6
Diện tích toàn phần của hình nón cụt:
d.
Ta có:
= 5
= 8
l = 9
Diện tích toàn phần của hình nón cụt:
