Bài viết Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc.

Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc

A. Phương pháp giải

Cho đường thẳng ∆ và điểm M(a; b). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với đường thẳng ∆ một góc α.

+ Cách 1:

– Gọi n→(A; B) là VTPT của đường thẳng d.

Tìm VTPT n’→( A’; B’) của đường thẳng ∆.

– Do góc giữa đường thẳng d và ∆ bằng α nên:

Cosα =

Giải phương trình trên ta được A = k.B. Chọn A =…. ⇒ B..

⇒ VTPT của đường thẳng d

⇒ Phương trình đường thẳng d.

+ Cách 2:

– Đường thẳng ∆ có hệ số góc k1.

– Giả sử đường thẳng d có hệ số góc k2.

– Do góc giữa hai đường thẳng d và ∆ là α nên :

Tanα =

Phương trình trên là phương trình ẩn k2. Giải hệ phương trình ta được k2

⇒ Phương trình đường thẳng d.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Cho đường thẳng d : 3x – 4y – 12 = 0. Phương trình các đường thẳng qua M(2 ; -1) và tạo với d một góc là

A. 7x – y – 15 = 0 ; x + 7y + 5 = 0 B. 7x + y – 15 = 0 ; x – 7y + 5 = 0

C. 7x – y + 15 = 0 ; x + 7y – 5 = 0 D. 7x + y + 15 = 0 ; x – 7y – 5 = 0

Lời giải

Gọi n→( A , B) và A2 + B2 > 0 là véc tơ pháp tuyến của ∆

Đường thẳng d có VTPT n’→( 3 ; -4)

Ta có:

⇔ 7A2 + 48AB – 7B2 = 0 ⇔

+ Với B = 7A chọn A = 1 ; B = 7 ⇒ (d) : qua M(2 ; -1) và VTPT (1 ; 7)

⇒ Phương trình (d) : 1( x – 2) + 7( y + 1) = 0 hay x + 7y + 5 = 0

+ Với A = – 7B chọn A = 7 ; B = – 1 ⇒ (d) đi qua M( 2 ; -1) và VTPT ( 7 ; -1)

⇒ Phương trình (d) : 7( x – 2) – 1( y + 1) = 0 hay 7x – y – 15 = 0

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là : x + 7y + 5 = 0 và 7x – y – 15 = 0.

Chọn A.

Ví dụ 2. Viết phương trình đường thẳng (d) qua M( -1; 2) và tạo với trục Ox một góc 600.

A. √3x – y + √3 + 2 = 0 B. √3x – y – √3 + 2 = 0

C. √3x – y + 2 = 0 D. √3x + y – √3 + 2 = 0

Lời giải

Do (d) tạo với trục Ox một góc 600 nên có hệ số góc k = tan 600 = √3.

Phương trình d là: y = √3(x + 1) + 2 ⇔ √3x – y + √3 + 2 = 0 .

Chọn A.

Ví dụ 3. Biết rằng có đúng hai giá trị của tham số k để đường thẳng d: y = kx tạo với đường thẳng ∆: y = x một góc 600. Tổng hai giá trị của k bằng:

A. – 8 B. – 4 C. – 1 D. 1

Lời giải

Ta có đường thẳng d : y = kx ⇔ kx – y = 0 nên d nhận VTPT nd→( k; -1)

Đường thẳng ∆ : y = x hay x – y = 0 nên ∆ nhận VTPT n∆→( 1; -1)

Để hai đường thẳng này tạo với nhau góc 600 thì:

( nd→; n∆→) = 600 ⇒ cos(nd→; n∆→)= cos 600

= cos600 = ⇔ k2 + 1 = 2k2 + 4k + 2 ⇔ k2 + 4k + 1 = 0

Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt theo hệ thức Vi- et ta có: k1 + k2 = – 4

Chọn B.

Ví dụ 4: Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M(1;1) và tạo một góc 450 với đường thẳng d: x – y + 90 = 0

A. x – 1 = 0 B. y – 1 = 0 C. x + y – 2 = 0 D. Cả A và B đúng

Lời giải

+ Đường thẳng d có VTPT n→(1; -1) .

+ Gọi VTPT của ∆ là n’→(a; b) .

+ Do góc giữa hai đường thẳng d và ∆ là 450 nên:

cos450 =

⇔ = |a – b| ⇔ a2 + b2 = a2 – 2ab + b2

⇔ – 2ab = 0 ⇔ a = 0 hoặc b = 0

+ Nếu a = 0; chọn b = 1.

Đường thẳng ∆:

⇒ Phương trình ∆: 0(x – 1) + 1( y – 1) = 0 hay y – 1 = 0

+ Nếu b = 0; chọn a = 1.

Đường thẳng ∆:

⇒ Phương trình ∆: 1(x – 1) + 0( y – 1) = 0 hay x – 1 = 0

Chọn D.

Ví dụ 5: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M(5; 1) và tạo thành một góc 450 với đường thẳng d: y = -2x + 4

A. y = 3x – 10 B. y = 3x – 14 C. y = x + D. Cả B và C đúng

Lời giải

Hệ số góc của đường thẳng d là k1 = -2.

Gọi hệ số góc của đường thẳng ∆ là k2.

Do góc giữa hai đường thẳng là 450 nên :

Tan450 = ⇔ 1 =

⇔

+ Với k2 = ; đường thẳng ∆ qua M(5; 1) và hệ số góc k2 nên có phương trình :

y= ( x – 5) + 1 hay y = x +

+ Với k2 = 3 đường thẳng ∆ qua M(5; 1) và hệ số góc k2 nên có phương trình :

y = 3( x – 5) + 1 hay y = 3x – 14

chọn D.

Ví dụ 6: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M(2; 1) và tạo thành một góc 450 với đường thẳng d: 2x + 3y + 4 = 0

A. y = -5x – 10 B. y = -5x + 11 C. y = x + D. Cả B và C đúng

Lời giải

Hệ số góc của đường thẳng d là k1= –

Gọi hệ số góc của đường thẳng ∆ là k2.

Do góc giữa hai đường thẳng là 450 nên :

Tan450 = ⇔ 1 =

⇔

+ Với k2 = ; đường thẳng ∆ qua M(2; 1) và hệ số góc k2 nên có phương trình :

y = ( x – 2) + 1 hay y = x +

+ Với k2 = -5 đường thẳng ∆ qua M(2; 1) và hệ số góc k2 nên có phương trình :

y = – 5( x – 2) + 1 hay y = -5x + 11

Chọn D.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho đường thẳng d có phương trình: x – 2y + 5 = 0. Có mấy phương trình đường thẳng qua M(2; 1) và tạo với (d) một góc 450.

A. 1 B. 2 C. 3 D. Không có.

Lời giải:

Đáp án: B

Đường thẳng d có VTPT nd→( 1; -2)

Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm; n→( A; B) là VTPT của ∆ (A2 + B2 ≠ 0)

Để ∆ lập với d một góc 450 thì:

Cos450 = ⇔ 2( A – 2B)2 = 5( A2 + B2)

⇔3A2 + 8AB – 3B2 = 0

Giả sử B ≠ 0 ⇒ 3. + 8. – 3 = 0 ⇔

+ Với A = -3B, chọn B = -1 thì A = 3 ta được phương trình ∆ qua M(2; 1) và VTPT ( 3; -1)

⇒ phương trình ∆: 3( x – 2) – 1(y – 1) = 0 hay 3x – y – 5 = 0.

+ Với B = 3A, chọn A = 1 thì B = 3 ta được phương trình ∆ qua M( 2; 1) và VTPT ( 1; 3)

⇒ Phương trình ∆: 1( x – 2) + 3( y – 1) = 0 hay x + 3y – 5 = 0

Câu 2: Cho đường thẳng (d) có phương trình: x + 3y – 3 = 0 . Viết phương trình đường thẳng qua A( -2; 0) và tạo với (d) một góc 450.

A. 2x + y + 4 = 0 hoặc x + 2y + 2 = 0 B. 2x + y + 4 = 0 hoặc x + 2y + 2 = 0

C. 2x + y + 4 = 0 hoặc x – 2y + 2 = 0 D. 2x – y + 4 = 0 hoặc x – 2y + 2 = 0.

Lời giải:

Đáp án: C

Đường thẳng d có VTPT nd→( 1; 3) .

Gọi là đường thẳng cần tìm; n→(A; B) là VTPT của ∆ (A2 + B2 ≠ 0)

Để ∆ lập với ( d) một góc 450 thì:

cos450 = ⇔ 2(A + 3B)2 = 10(A2 + B2) ⇔

+ Với A = 2B, chọn B = 1 thì A = 2 ta được phương trình ∆:

⇒(∆) : 2( x + 2) + 1( y – 0) = 0 hay 2x + y + 4 = 0.

+ Với B = -2A, chọn A = 1;B = – 2 ta được phương trình ∆:

⇒(∆): 1( x + 2) – 2( y – 0) = 0 hay x – 2y + 2 = 0 .

Câu 3: Cho hai đường thẳng d1: 3x + 4y + 12 = 0 và d2: . Tìm các giá trị của tham số a để d1 và d2 hợp với nhau một góc bằng 450.

A. a = hoặc a = -14 B. a = hoặc a = 3

C. a = 5 hoặc a = -14 D. a = hoặc a = 5

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có

Đường thẳng d1 có VTPT n→( 3; 4) và đường thẳng d2 có VTCP ( a; -2) nên có VTPT n’→( 2; a) .

Để góc giữa hai đường thẳng là 450 thì:

|cos⁡( n→; n’→ ) | = cos450 ⇔

⇔ ⇔ √2|6 + 4a| = 5.

⇔ 2( 36 + 48a + 16a2) = 25(4 + a2)

⇔ 72 + 96a + 32a2 = 100 + 25a2

⇔ 7a2 + 96a – 28 = 0 ⇔

Câu 4: Viết phương trình đường thẳng d qua N( 3; -2) và tạo với trục Ox một góc 450.

A. x – y – 1 = 0 B. x + y – 1 = 0 C. x – y – 5 = 0 D. Tất cả sai

Lời giải:

Đáp án: C

Do (d) tạo với trục Ox một góc 450 nên có hệ số góc của đường thẳng (d) là

k = tan 450 = 1

Phương trình d là: y = 1( x – 3) – 2 hay x – y – 5 = 0

Câu 5: Đường thẳng ∆ đi qua giao điểm của hai đường thẳng (a) : 2x + y – 3 = 0 và (b): x – 2y + 1 = 0 đồng thời tạo với đường thẳng (c): y – 1 = 0 một góc 450 có phương trình:

A. 2x + y = 0 hoặc x – y – 1 = 0 . B. x + 2y = 0 hoặc x – 4y = 0.

C. x – y = 0 hoặc x + y – 2 = 0 . D. 2x + 1 = 0 hoặc x – 3y = 0.

Lời giải:

Đáp án: C

+ Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng (a) và ( b) thì tọa độ điểm A là nghiệm hệ :

⇒ A( 1; 1)

+Ta có đường thẳng ( c) có VTPT n1→( 0;1). Gọi VTPT của đường thẳng ∆ là n2→( x; y)

Do góc giữa đường thẳng ∆ và đường thẳng (c) bằng 450 nên :

|cos⁡( n1→; n2→ ) | = cos⁡450

⇔ ⇔ x2 + y2 = 2y2 ⇔ x2 = y2

⇔

+ Nếu x = y thì chọn x = y = 1.

Đường thẳng ∆: nên phương trình ∆: 1( x – 1) + 1( y – 1) = 0

Hay x + y – 2 = 0.

+ Nếu x = -y. Chọn x = 1 thì y = -1

⇒ Đường thẳng ∆: nên phương trình ∆: 1( x – 1) – 1( y – 1) = 0

Hay x – y = 0.

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là : x + y – 2 = 0 hoặc x – y = 0

Câu 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, có bao nhiêu đường thẳng đi qua điểm A( 2; 0) và tạo với trục hoành một góc 450.

A. Có duy nhất. B. 2 C. Vô số. D. Không tồn tại.

Lời giải:

Đáp án: B

Cho đường thẳng d và một điểm A. Khi đó.

(i) Có duy nhất một đường thẳng đi qua A song song hoặc trùng hoặc vuông góc với d.

(ii) Có đúng hai đường thẳng đi qua A và tạo với d một góc α mà 00 < α < 900.

⇒ Có hai đường thẳng qua điểm A( 2; 0) và tạo với trục hoành một góc 450.

Câu 7: Đường thẳng ∆ tạo với đường thẳng d : x + 2y – 6 = 0 một góc 450. Tìm hệ số góc k của đường thẳng ∆.

A. k = hoặc k = -3 B. k = hoặc k = 3

C. k = – hoặc k = -3 D. k = – hoặc k = 3

Lời giải:

Đáp án: A

+ Đường thẳng d: x + 2y – 6 = 0 có VTPT nd→( 1; 2) .

+ Gọi đường thẳng ∆ có VTPT n∆→( a; b) ( với a2 + b2 > 0)

⇒ Phương trình đường thẳng ∆: ax + by + c = 0

+Nếu a= 0 thì đường thẳng ∆: y + c’ = 0 nhưng khi đó góc giữa d và ∆ là:

cosφ = ⇒ φ ≠ 450.

⇒ a = 0 không thỏa mãn

+ Với a ≠ 0 thì đường thẳng ∆: y = – x – nên hệ số góc k∆ =

Để hai đường thẳng d và ∆ tạo với nhau góc 450 thì :

= cos450 = ⇔ 5(a2 + b2) = 2a2 + 8ab + 8b2

⇔ 3a2 – 8ab – 3b2 = 0 ⇔

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:

• Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng
• Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
• Tìm điểm thuộc đường thẳng có độ dài thỏa mãn điều kiện
• Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
• Vị trí tương đối của 2 điểm với đường thẳng: cùng phía, khác phía
• Cách xác định góc giữa hai đường thẳng
• Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng

Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• (mới) Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• (mới) Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• (mới) Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

Săn SALE shopee tháng 12:

• Đồ dùng học tập giá rẻ
• Sữa dưỡng thể Vaseline chỉ hơn 40k/chai
• Tsubaki 199k/3 chai
• L’Oreal mua 1 tặng 3