Bài viết này Vted hệ thống lại các dạng toán về ma trận nghịch đảo và phương pháp giải
>>Xem thêm Các phương pháp tính định thức của ma trận
>>Định thức của ma trận và các tính chất của định thức
>>Xem thêm Các dạng toán về hạng của ma trận và phương pháp giải
>>Xem thêm Phép nhân ma trận và các tính chất
Ma trận phụ hợp và các tính chất
Cho ma trận $A={{({{a}_{ij}})}_{ntimes n}}$ và ${{A}_{ij}}$ là phần bù đại số của phần tử ${{a}_{ij}}$ của ma trận $A.$ Khi đó:
Ma trận ${A^*} = left( {begin{array}{*{20}{c}} {{A_{11}}}&{{A_{21}}}&{…}&{{A_{n1}}} \ {{A_{12}}}&{{A_{22}}}&{…}&{{A_{n2}}} \ {…}&{…}&{…}&{…} \ {{A_{1n}}}&{{A_{2n}}}&{…}&{{A_{nn}}} end{array}} right)$ được gọi là ma trận phụ hợp của ma trận $A.$
Vậy ${{A}^{*}}={{(a_{ij}^{*})}_{ntimes n}}={{left( {{A}_{ji}} right)}_{ntimes n}}$ và ${{(kA)}_{ij}}={{k}^{n-1}}{{A}_{ij}}Rightarrow {{(kA)}^{*}}={{k}^{n-1}}{{A}^{*}}.$ Suy ra
Phần tử thuộc trên dòng i, cột j của ma trận phụ hợp ${{A}^{*}}$ là $a_{ij}^{*}={{A}_{ji}}={{left( -1 right)}^{j+i}}{{M}_{ji}}$
Phần tử thuộc trên dòng i, cột j của ma trận phụ hợp ${{left( kA right)}^{*}}$ là ${{k}^{n-1}}{{A}_{ji}}={{k}^{n-1}}{{left( -1 right)}^{j+i}}{{M}_{ji}}$
Ví dụ 1: Cho ma trận $A = left( {begin{array}{*{20}{c}} 1&2&m&{ – 1}\ 3&4&{ – 2}&5\ { – 3}&4&1&2\ { – 1}&2&{ – 3}&4 end{array}} right).$ Tìm phần tử thuộc dòng 3, cột 2 của các ma trận phụ hợp ${{A}^{*}}$ và ${{left( -2023A right)}^{*}}.$
Giải. Ta có ${A^*} = {(a_{ij}^*)_{n times n}} = {left( {{A_{ji}}} right)_{n times n}} Rightarrow a_{32}^* = {A_{23}} = {( – 1)^{2 + 3}}left| {begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ – 1} \ { – 3}&4&2 \ { – 1}&2&4 end{array}} right| = – 34.$
Và ${{(kA)}_{ij}}={{k}^{n-1}}{{A}_{ij}}Rightarrow {{(kA)}^{*}}={{k}^{n-1}}{{A}^{*}}.$ Suy ra phần tử thuộc trên dòng i, cột j của ma trận phụ hợp ${{left( kA right)}^{*}}$ là ${{k}^{n-1}}{{A}_{ji}}={{k}^{n-1}}{{left( -1 right)}^{j+i}}{{M}_{ji}}.$ Vậy phần tử thuộc dòng 3, cột 2 của ma trận ${{left( -2023A right)}^{*}}$ là ${left( { – 2023} right)^3}{left( { – 1} right)^{2 + 3}}left| {begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ – 1} \ { – 3}&4&2 \ { – 1}&2&4 end{array}} right| = – 34 times {2023^3}.$
Ví dụ 2: Tìm ma trận phụ hợp của ma trận $A = left( {begin{array}{*{20}{c}} a&b \ c&d end{array}} right).$ Áp dụng tìm ma trận $A$ nếu ${A^*} = left( {begin{array}{*{20}{c}} {2022}&{2023} \ {2024}&{2025} end{array}} right).$
Giải. Ta có ${A_{11}} = d,{A_{12}} = – c,{A_{21}} = – b,{A_{22}} = a Rightarrow {A^*} = left( {begin{array}{*{20}{c}} d&{ – b} \ { – c}&a end{array}} right).$
Vậy nếu ${A^*} = left( {begin{array}{*{20}{c}} {2022}&{2023} \ {2024}&{2025} end{array}} right) Rightarrow a = 2025;b = – 2023;c = – 2024;d = 2022 Rightarrow A = left( {begin{array}{*{20}{c}} {2025}&{ – 2023} \ { – 2024}&{2022} end{array}} right).$
Ví dụ 3: Cho ma trận $A = left( {begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3 \ { – 1}&0&4 \ 2&5&{ – 1} end{array}} right).$ Tìm ma trận phụ hợp ${{A}^{*}}$ của $A.$
Giải. Ta có
[begin{gathered} {A_{11}} = left| {begin{array}{*{20}{c}} 0&4 \ 5&{ – 1} end{array}} right| = – 20,{A_{12}} = – left| {begin{array}{*{20}{c}} { – 1}&4 \ 2&{ – 1} end{array}} right| = 7,{A_{13}} = left| {begin{array}{*{20}{c}} { – 1}&0 \ 2&5 end{array}} right| = – 5 hfill \ {A_{21}} = – left| {begin{array}{*{20}{c}} 2&3 \ 5&{ – 1} end{array}} right| = 17,{A_{22}} = left| {begin{array}{*{20}{c}} 1&3 \ 2&{ – 1} end{array}} right| = – 7,{A_{23}} = – left| {begin{array}{*{20}{c}} 1&2 \ 2&5 end{array}} right| = – 1 hfill \ {A_{31}} = left| {begin{array}{*{20}{c}} 2&3 \ 0&4 end{array}} right| = 8,{A_{32}} = – left| {begin{array}{*{20}{c}} 1&3 \ { – 1}&4 end{array}} right| = – 7,{A_{33}} = left| {begin{array}{*{20}{c}} 1&2 \ { – 1}&0 end{array}} right| = 2 hfill \ end{gathered} ]
Vậy [{A^*} = left( {begin{array}{*{20}{c}} { – 20}&{17}&8 \ 7&{ – 7}&{ – 7} \ { – 5}&{ – 1}&2 end{array}} right).]
Các tính chất của ma trận phụ hợp
Bổ đề 1: Cho ma trận vuông $A={{({{a}_{ij}})}_{ntimes n}}$ và ${{A}_{ij}}$ là phần bù đại số của phần tử ${{a}_{ij}}.$ Chứng minh rằng:
i) ${a_{i1}}{A_{k1}} + {a_{i2}}{A_{k2}} + … + {a_{in}}{A_{kn}} = left{ begin{gathered} det (A),i = k hfill \ 0,i ne k hfill \ end{gathered} right.;$
ii) ${a_{1j}}{A_{1q}} + {a_{2j}}{A_{2q}} + … + {a_{nj}}{A_{nq}} = left{ begin{gathered} det (A),j = q hfill \ 0,j ne q hfill \ end{gathered} right..$
Bổ đề 2: Cho ma trận vuông $A={{({{a}_{ij}})}_{ntimes n}}$ có ${{A}^{*}}$ là ma trận phụ hợp của $A,$ khi đó:
$A{{A}^{*}}={{A}^{*}}A=det (A)E.$
Bổ đề 3: Ta có $det ({{A}^{*}})={{(det (A))}^{n-1}}.$
Bổ đề 4: Nếu $det (A)=0$ khi đó các cột của ${{A}^{*}}$ là nghiệm của hệ thuần nhất $AX=O.$
Chứng minh bạn đọc xem tại đây: https://askmath.vn/cau-hoi/Cho-ma-tran-va-la-ma-tran-phu-hop-cua-Chung-minh-rang-a-b-/57eb1653-e4e6-47fe-b3e6-d34a7fe5b859
Định nghĩa ma trận nghịch đảo
a) Xét ma trận vuông $A.$ Ma trận vuông $X$ cùng cấp với $A$ được gọi là ma trận nghịch đảo của $A$ nếu thoả mãn $AX=XA=E,$ kí hiệu là ${{A}^{-1}}.$ Vậy $A{{A}^{-1}}={{A}^{-1}}A=E.$ Ma trận nghịch đảo nếu tồn tại thì đó là duy nhất.
b) Ma trận vuông $A$ có ma trận nghịch đảo khi và chỉ khi $A$ có định thức khác 0, khi đó ${{A}^{-1}}=dfrac{1}{det (A)}{{A}^{*}}.$ Trường hợp này ta gọi $A$ là ma trận khả nghịch hay ma trận không suy biến. Ngược lại nếu định thức của $A$ bằng 0 thì ta gọi $A$ là ma trận suy biến.
Bài toán tìm phần tử thuộc dòng i và cột j của ma trận nghịch đảo
+ Phần tử nằm trên dòng thứ i và cột thứ j của ma trận ${{A}^{-1}}$ là $dfrac{1}{det (A)}a_{ij}^{*}=dfrac{1}{det (A)}{{A}_{ji}}.$
+ Phần tử nằm trên dòng thứ i và cột thứ j của ma trận ${{(kA)}^{-1}}$ là $dfrac{1}{det (kA)}{{(kA)}_{ji}}=dfrac{1}{{{k}^{n}}det (A)}{{k}^{n-1}}{{A}_{ji}}=dfrac{1}{kdet (A)}{{A}_{ji}}.$
+ Phần tử nằm trên dòng thứ i và cột thứ j của ma trận ${{({A}’)}^{-1}}$ là $dfrac{1}{det ({A}’)}{{{A}’}_{ji}}=dfrac{1}{det (A)}{{{A}’}_{ji}}.$
+ Phần tử nằm trên dòng thứ i và cột thứ j của ma trận ${{(k{A}’)}^{-1}}$ là $dfrac{1}{det (k{A}’)}{{(k{A}’)}_{ji}}=dfrac{1}{{{k}^{n}}det (A)}{{k}^{n-1}}{{{A}’}_{ji}}=dfrac{1}{kdet (A)}{{{A}’}_{ji}}.$
c) Từ $A.{{A}^{-1}}={{A}^{-1}}.A=ERightarrow det left( A right).det left( {{A}^{-1}} right)=det left( E right)=1Rightarrow det ({{A}^{-1}})=dfrac{1}{det (A)}.$
d) Với $A,B$ là các ma trận vuông cùng cấp không suy biến ta có ${{left( AB right)}^{*}}={{B}^{*}}{{A}^{*}}$ và ${{(AB)}^{-1}}={{B}^{-1}}{{A}^{-1}}.$
Chứng minh xem tại đây: https://askmath.vn/cau-hoi/Cho-hai-ma-tran-vuong-cung-cap-va-khong-suy-bien-Chung-minh-rang-/d6ad5a5f-dd59-4087-9aa1-c4623f2dfbc2
e) Với $A$ là ma trận không suy biến thì ${{({{A}^{-1}})}^{*}}={{({{A}^{*}})}^{-1}}=dfrac{1}{det (A)}A$ và $A=dfrac{1}{{{left( det (A) right)}^{n-2}}}{{left( {{A}^{*}} right)}^{*}}$
Chứng minh xem tại đây: https://askmath.vn/cau-hoi/Cho-ma-tran-vuong-cap-khong-suy-bien-Chung-minh-rang-va/7cec8c04-4c34-49f8-827e-d2b08a897478
Ví dụ 1: Cho ma trận $A = left( {begin{array}{*{20}{c}} 1&m&2&3 \ { – 1}&2&1&0 \ 2&3&0&2 \ 3&{ – 1}&3&1 end{array}} right).$ Tìm điều kiện để $A$ khả nghịch, khi đó:
a) Tìm phần tử nằm trên dòng 2, cột 3 của ma trận ${{A}^{-1}};$
b) Tìm phần tử nằm trên dòng 2, cột 3 của ma trận ${{(6A)}^{-1}};$
c) Tìm phần tử nằm trên dòng 2, cột 3 của ma trận ${{(6{A}’)}^{-1}};$
d) Tìm các ma trận ${{({{A}^{*}})}^{-1}}$ và ${{({{A}^{-1}})}^{*}}.$
Giải. Ta có $det (A)=85-10m.$ Vậy $A$ khả nghịch$Leftrightarrow det (A)ne 0Leftrightarrow mne dfrac{17}{2}.$
a) Có ${{A}^{-1}}=dfrac{1}{det (A)}{{A}^{*}}$ nên phần tử cần tìm là
$dfrac{1}{{det (A)}}a_{23}^* = dfrac{1}{{det (A)}}{A_{32}} = dfrac{1}{{85 – 10m}}{( – 1)^{3 + 2}}left| {begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3 \ { – 1}&1&0 \ 3&3&1 end{array}} right| = dfrac{{15}}{{85 – 10m}} = dfrac{3}{{17 – 2m}}.$
b) Có ${{(6A)}^{-1}}=dfrac{1}{det (6A)}{{(6A)}^{*}}=dfrac{1}{{{6}^{4}}det (A)}{{6}^{3}}{{A}^{*}}=dfrac{1}{6det (A)}{{A}^{*}}.$
Vậy phần tử cần tìm là $dfrac{1}{{6det (A)}}a_{23}^* = dfrac{1}{{6det (A)}}{A_{32}} = dfrac{1}{{6(85 – 10m)}}{( – 1)^{3 + 2}}left| {begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3 \ { – 1}&1&0 \ 3&3&1 end{array}} right| = dfrac{1}{{2(17 – 2m)}}.$
c) Có ${{(6{A}’)}^{-1}}=dfrac{1}{6det (A)}{{({A}’)}^{*}}.$(Xem bài giảng)
d) Có ${({A^*})^{ – 1}} = {({A^{ – 1}})^*} = dfrac{1}{{det (A)}}A = dfrac{1}{{85 – 10m}}left( {begin{array}{*{20}{c}} 1&m&2&3 \ { – 1}&2&1&0 \ 2&3&0&2 \ 3&{ – 1}&3&1 end{array}} right).$
Ví dụ 2: Cho A là ma trận vuông cấp n có tất cả các phần tử đều là số nguyên. Chứng minh rằng ma trận nghịch đảo ${{A}^{-1}}$ có tất cả các phần tử là số nguyên khi và chỉ khi $det (A)=pm 1.$
Giải. Chú ý ${{a}_{ij}}in mathbb{Z}Rightarrow {{A}_{ij}}in mathbb{Z}.$
Nếu $det (A)=pm 1Rightarrow {{A}^{-1}}=dfrac{1}{det (A)}{{A}^{*}}=pm {{A}^{*}}$ có tất cả các phần tử là số nguyên.
Ngược lai nếu ${{A}^{-1}}$ có tất cả các phần tử là số nguyên thì $det ({{A}^{-1}})=dfrac{1}{det (A)}in mathbb{Z}Leftrightarrow det (A)=pm 1.$
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Tìm ma trận nghịch đảo bằng công thức liên quan đến định thức và ma trận phụ hợp ${A^{ – 1}} = dfrac{1}{{det (A)}}{A^*}.$
Ví dụ 1: Cho ma trận $A = left( {begin{array}{*{20}{c}} a&b \ c&d end{array}} right).$ Tìm điều kiện của $a,b,c,d$ để ma trận $A$ có ma trận nghịch đảo. Khi đó tìm ma trận ${{A}^{-1}}.$
Giải. Ta có $det (A)=ad-bc.$ Vậy $A$ có ma trận nghịch đảo $Leftrightarrow det (A)ne 0Leftrightarrow ad-bcne 0.$
Khi đó ${A^{ – 1}} = dfrac{1}{{det (A)}}{A^*} = dfrac{1}{{ad – bc}}left( {begin{array}{*{20}{c}} d&{ – c} \ { – b}&a end{array}} right).$
Ví dụ 2: Cho ma trận $A = left( {begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3 \ { – 1}&0&4 \ 2&5&{ – 1} end{array}} right).$ Tìm ma trận nghịch đảo ${{A}^{-1}}$ của $A$ bằng công thức ${{A}^{-1}}=dfrac{1}{det left( A right)}.{{A}^{*}}.$
Giải. Ta có $det (A)=-21.$
[begin{gathered} {A_{11}} = left| {begin{array}{*{20}{c}} 0&4 \ 5&{ – 1} end{array}} right| = – 20,{A_{12}} = – left| {begin{array}{*{20}{c}} { – 1}&4 \ 2&{ – 1} end{array}} right| = 7,{A_{13}} = left| {begin{array}{*{20}{c}} { – 1}&0 \ 2&5 end{array}} right| = – 5 hfill \ {A_{21}} = – left| {begin{array}{*{20}{c}} 2&3 \ 5&{ – 1} end{array}} right| = 17,{A_{22}} = left| {begin{array}{*{20}{c}} 1&3 \ 2&{ – 1} end{array}} right| = – 7,{A_{23}} = – left| {begin{array}{*{20}{c}} 1&2 \ 2&5 end{array}} right| = – 1 hfill \ {A_{31}} = left| {begin{array}{*{20}{c}} 2&3 \ 0&4 end{array}} right| = 8,{A_{32}} = – left| {begin{array}{*{20}{c}} 1&3 \ { – 1}&4 end{array}} right| = – 7,{A_{33}} = left| {begin{array}{*{20}{c}} 1&2 \ { – 1}&0 end{array}} right| = 2 hfill \ end{gathered} ]
Vậy [{A^{ – 1}} = dfrac{1}{{det (A)}}.{A^*} = – dfrac{1}{{21}}left( {begin{array}{*{20}{c}} { – 20}&{17}&8 \ 7&{ – 7}&{ – 7} \ { – 5}&{ – 1}&2 end{array}} right).]
Ví dụ 3: Cho ma trận $A = left( {begin{array}{*{20}{c}} 2&{ – 1}&3\ 1&a&3\ 3&0&2 end{array}} right).$
a) Tìm $a$ để $A$ khả nghịch;
b) Với $a=-2,$ bằng cách tìm ma trận ${{(A-3E)}^{-1}}$ theo ma trận phụ hợp áp dụng giải phương trình $AX=3X+B$ với [B = {left( {begin{array}{*{20}{c}} 3&4&{ – 1} end{array}} right)^prime }.]
Giải. Ta có $A$ khả nghịch khi và chỉ khi $det left( A right)=-5a-7ne 0Leftrightarrow ane -dfrac{7}{5}.$
Ta có [B = {left( {begin{array}{*{20}{c}} 3&4&{ – 1} end{array}} right)^prime } = left( {begin{array}{*{20}{c}} 3 \ 4 \ { – 1} end{array}} right).] Phương trình $AX=3X+BLeftrightarrow left( A-3E right)X=BLeftrightarrow X={{left( A-3E right)}^{-1}}B$
Khi $a = – 2 Rightarrow D = A – 3E = left( {begin{array}{*{20}{c}} { – 1}&{ – 1}&3 \ 1&{ – 5}&3 \ 3&0&{ – 1} end{array}} right) Rightarrow det left( D right) = 30$
Ta có ${D_{11}} = left| {begin{array}{*{20}{c}} { – 5}&3 \ 0&{ – 1} end{array}} right| = 5,{D_{12}} = – left| {begin{array}{*{20}{c}} 1&3 \ 3&{ – 1} end{array}} right| = 10,{D_{13}} = left| {begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 5} \ 3&0 end{array}} right| = 15;$
${D_{21}} = – left| {begin{array}{*{20}{c}} { – 1}&3 \ 0&{ – 1} end{array}} right| = – 1,{D_{22}} = left| {begin{array}{*{20}{c}} { – 1}&3 \ 3&{ – 1} end{array}} right| = – 8,{D_{23}} = – left| {begin{array}{*{20}{c}} { – 1}&{ – 1} \ 3&0 end{array}} right| = – 3;$
${D_{31}} = left| {begin{array}{*{20}{c}} { – 1}&3 \ { – 5}&3 end{array}} right| = 12,{D_{32}} = – left| {begin{array}{*{20}{c}} { – 1}&3 \ 1&3 end{array}} right| = 6,{D_{33}} = left| {begin{array}{*{20}{c}} { – 1}&{ – 1} \ 1&{ – 5} end{array}} right| = 6$
$ Rightarrow {D^{ – 1}} = dfrac{1}{{det left( D right)}}{D^*} = dfrac{1}{{30}}left( {begin{array}{*{20}{c}} 5&{ – 1}&{12} \ {10}&{ – 8}&6 \ {15}&{ – 3}&6 end{array}} right)$
$ Rightarrow X = {D^{ – 1}}B = dfrac{1}{{30}}*left( {begin{array}{*{20}{c}} 5&{ – 1}&{12} \ {10}&{ – 8}&6 \ {15}&{ – 3}&6 end{array}} right)*left( {begin{array}{*{20}{c}} 3 \ 4 \ { – 1} end{array}} right) = dfrac{1}{{30}}left( {begin{array}{*{20}{c}} { – 1} \ { – 8} \ {27} end{array}} right).$
Ví dụ 4: Cho ma trận $A = left( {begin{array}{*{20}{c}} a&b&0 \ c&0&b \ 0&c&a end{array}} right).$ Tính định thức của ma trận $A$ và tìm điều kiện để $A$ khả nghịch. Khi đó hãy tìm ma trận nghịch đảo ${{A}^{-1}}.$
Giải. Khai triển theo cột 1 ta có $det left( A right) = aleft| {begin{array}{*{20}{c}} 0&b \ c&a end{array}} right| – cleft| {begin{array}{*{20}{c}} b&0 \ c&a end{array}} right| = – abc – abc = – 2abc.$
Ma trận $A$ khả nghịch khi $det left( A right)ne 0Leftrightarrow abcne 0.$
Áp dụng công thức ${A^{ – 1}} = dfrac{1}{{det left( A right)}}{A^*} = left( {begin{array}{*{20}{c}} {dfrac{1}{{2a}}}&{dfrac{1}{{2c}}}&{ – dfrac{b}{{2ac}}} \ {dfrac{1}{{2b}}}&{ – dfrac{a}{{2bc}}}&{dfrac{1}{{2c}}} \ { – dfrac{c}{{2ab}}}&{dfrac{1}{{2b}}}&{dfrac{1}{{2a}}} end{array}} right).$
Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp $(A|E)to (E|{{A}^{-1}}).$
Ví dụ 1: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận $A = left( {begin{array}{*{20}{c}} 4&2&2\ 2&2&2\ 2&2&6 end{array}} right)$ bằng phép biến đổi sơ cấp $(A|E)to (E|{{A}^{-1}}).$
Biến đổi sơ cấp ma trận (A|E)
[begin{gathered} (A|E) = left( {begin{array}{*{20}{c}} 4&2&2&1&0&0 \ 2&2&2&0&1&0 \ 2&2&6&0&0&1 end{array}} right)xrightarrow{begin{subarray}{l} {mathbf{ – }}{{mathbf{d}}_{mathbf{1}}}{mathbf{ + 2}}{{mathbf{d}}_{mathbf{2}}} \ {mathbf{ – }}{{mathbf{d}}_{mathbf{1}}}{mathbf{ + 2}}{{mathbf{d}}_{mathbf{3}}} end{subarray} }left( {begin{array}{*{20}{c}} 4&2&2&1&0&0 \ 0&2&2&{ – 1}&2&0 \ 0&2&{10}&{ – 1}&0&2 end{array}} right) hfill \ xrightarrow{{{mathbf{ – }}{{mathbf{d}}_{mathbf{2}}}{mathbf{ + }}{{mathbf{d}}_{mathbf{3}}}}}left( {begin{array}{*{20}{c}} 4&2&2&1&0&0 \ 0&2&2&{ – 1}&2&0 \ 0&0&8&0&{ – 2}&2 end{array}} right)xrightarrow{begin{subarray}{l} {mathbf{ – }}{{mathbf{d}}_{mathbf{3}}}{mathbf{ + 4}}{{mathbf{d}}_{mathbf{2}}} \ {mathbf{ – }}{{mathbf{d}}_{mathbf{3}}}{mathbf{ + 4}}{{mathbf{d}}_{mathbf{1}}} end{subarray} }left( {begin{array}{*{20}{c}} {16}&8&0&4&2&{ – 2} \ 0&8&0&{ – 4}&{10}&{ – 2} \ 0&0&8&0&{ – 2}&2 end{array}} right) hfill \ xrightarrow{{{mathbf{ – }}{{mathbf{d}}_{mathbf{2}}}{mathbf{ + }}{{mathbf{d}}_{mathbf{1}}}}}left( {begin{array}{*{20}{c}} {16}&0&0&8&{ – 8}&0 \ 0&8&0&{ – 4}&{10}&{ – 2} \ 0&0&8&0&{ – 2}&2 end{array}} right)xrightarrow{begin{subarray}{l} dfrac{{mathbf{1}}}{{{mathbf{16}}}}{{mathbf{d}}_{mathbf{1}}} \ dfrac{{mathbf{1}}}{{mathbf{8}}}{{mathbf{d}}_{mathbf{2}}} \ dfrac{{mathbf{1}}}{{mathbf{8}}}{{mathbf{d}}_{mathbf{3}}} end{subarray} }left( {begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&{dfrac{1}{2}}&{ – dfrac{1}{2}}&0 \ 0&1&0&{ – dfrac{1}{2}}&{dfrac{5}{4}}&{ – dfrac{1}{4}} \ 0&0&1&0&{ – dfrac{1}{4}}&{dfrac{1}{4}} end{array}} right). hfill \ end{gathered} ]
Vậy ${A^{ – 1}} = left( {begin{array}{*{20}{c}} {dfrac{1}{2}}&{ – dfrac{1}{2}}&0 \ { – dfrac{1}{2}}&{dfrac{5}{4}}&{ – dfrac{1}{4}} \ 0&{ – dfrac{1}{4}}&{dfrac{1}{4}} end{array}} right).$
Ví dụ 2: Cho ma trận $A = left( {begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 3}&1\ 0&2&3\ 2&a&5 end{array}} right).$
a) Tìm $a$ để $A$ khả nghịch; tìm phần tử nằm trên dòng thứ hai và cột thứ hai của ma trận ${{A}^{-1}}.$
b) Với $a=-2,$ tìm ma trận nghịch đảo của $A$ bằng cách biến đổi $(A|E)to (E|{{A}^{-1}}).$ Khi đó tìm ma trận $X$ thoả mãn $AX = left( {begin{array}{*{20}{c}} 2&{ – 4}\ { – 5}&3\ 1&{ – 5} end{array}} right).$
Giải.
a) Ta có điều kiện là $det (A)=-3(a+4)ne 0Leftrightarrow ane -4.$ Khi đó phần tử nằm trên dòng thứ hai và cột thứ hai là $dfrac{1}{{det (A)}}{A_{22}} = dfrac{1}{{ – 3(m + 4)}}left| {begin{array}{*{20}{c}} 1&1\ 2&5 end{array}} right| = – dfrac{1}{{m + 4}}.$
b) Với $a = – 2 Rightarrow A = left( {begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 3}&1\ 0&2&3\ 2&{ – 2}&5 end{array}} right).$ Khi đó:
[begin{gathered} (A|E) = left( {begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 3}&1&1&0&0 \ 0&2&3&0&1&0 \ 2&{ – 2}&5&0&0&1 end{array}} right)xrightarrow{{{mathbf{ – 2}}{{mathbf{d}}_{mathbf{1}}}{mathbf{ + }}{{mathbf{d}}_{mathbf{3}}}}}left( {begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 3}&1&1&0&0 \ 0&2&3&0&1&0 \ 0&4&3&{ – 2}&0&1 end{array}} right) hfill \ xrightarrow{{{mathbf{ – 2}}{{mathbf{d}}_{mathbf{2}}}{mathbf{ + }}{{mathbf{d}}_{mathbf{3}}}}}left( {begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 3}&1&1&0&0 \ 0&2&3&0&1&0 \ 0&0&{ – 3}&{ – 2}&{ – 2}&1 end{array}} right)xrightarrow{begin{subarray}{l} {{mathbf{d}}_{mathbf{3}}}{mathbf{ + }}{{mathbf{d}}_{mathbf{2}}} \ {{mathbf{d}}_{mathbf{3}}}{mathbf{ + 3}}{{mathbf{d}}_{mathbf{1}}} end{subarray} }left( {begin{array}{*{20}{c}} 3&{ – 9}&0&1&{ – 2}&1 \ 0&2&0&{ – 2}&{ – 1}&1 \ 0&0&{ – 3}&{ – 2}&{ – 2}&1 end{array}} right) hfill \ xrightarrow{{{mathbf{9}}{{mathbf{d}}_{mathbf{2}}}{mathbf{ + 2}}{{mathbf{d}}_{mathbf{1}}}}}left( {begin{array}{*{20}{c}} 6&0&0&{ – 16}&{ – 13}&{11} \ 0&2&0&{ – 2}&{ – 1}&1 \ 0&0&{ – 3}&{ – 2}&{ – 2}&1 end{array}} right)xrightarrow{begin{subarray}{l} dfrac{{mathbf{1}}}{{mathbf{6}}}{{mathbf{d}}_{mathbf{1}}} \ dfrac{{mathbf{1}}}{{mathbf{2}}}{{mathbf{d}}_{mathbf{2}}} \ {mathbf{ – }}dfrac{{mathbf{1}}}{{mathbf{3}}}{{mathbf{d}}_{mathbf{3}}} end{subarray} }left( {begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&{ – dfrac{8}{3}}&{ – dfrac{{13}}{6}}&{dfrac{{11}}{6}} \ 0&1&0&{ – 1}&{ – dfrac{1}{2}}&{dfrac{1}{2}} \ 0&0&1&{dfrac{2}{3}}&{dfrac{2}{3}}&{ – dfrac{1}{3}} end{array}} right) hfill \ end{gathered} ]
Vậy ${A^{ – 1}} = left( {begin{array}{*{20}{c}} { – dfrac{8}{3}}&{ – dfrac{{13}}{6}}&{dfrac{{11}}{6}} \ { – 1}&{ – dfrac{1}{2}}&{dfrac{1}{2}} \ {dfrac{2}{3}}&{dfrac{2}{3}}&{ – dfrac{1}{3}} end{array}} right).$
+) Phương trình ma trận: [AX = left( {begin{array}{*{20}{c}} 2&{ – 4} \ { – 5}&3 \ 1&{ – 5} end{array}} right) Leftrightarrow X = {A^{ – 1}}left( {begin{array}{*{20}{c}} 2&{ – 4} \ { – 5}&3 \ 1&{ – 5} end{array}} right)]
[ = left( {begin{array}{*{20}{c}} { – dfrac{8}{3}}&{ – dfrac{{13}}{6}}&{dfrac{{11}}{6}} \ { – 1}&{ – dfrac{1}{2}}&{dfrac{1}{2}} \ {dfrac{2}{3}}&{dfrac{2}{3}}&{ – dfrac{1}{3}} end{array}} right)left( {begin{array}{*{20}{c}} 2&{ – 4} \ { – 5}&3 \ 1&{ – 5} end{array}} right) = left( {begin{array}{*{20}{c}} {dfrac{{22}}{3}}&{ – 5} \ 1&0 \ { – dfrac{7}{3}}&1 end{array}} right).]
Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông cấp 2, 3, 4 bằng Máy tính cầm tay
Tìm các ma trận $A,{{A}^{-1}},{{A}^{*}},{{left( {{A}^{*}} right)}^{-1}},{{left( {{A}^{-1}} right)}^{*}}$ khi biết một trong các ma trận đó
Chúng ta vận dụng linh hoạt các mối quan hệ sau: ${A^*} = left( {begin{array}{*{20}{c}} {{A_{11}}}&{{A_{21}}}&{…}&{{A_{n1}}} \ {{A_{12}}}&{{A_{22}}}&{…}&{{A_{n2}}} \ {…}&{…}&{…}&{…} \ {{A_{1n}}}&{{A_{2n}}}&{…}&{{A_{nn}}} end{array}} right),{A_{ij}} = {left( { – 1} right)^{i + j}}{M_{ij}};det left( {{A^{ – 1}}} right) = dfrac{1}{{det left( A right)}};det left( {{A^*}} right) = {left( {det left( A right)} right)^{n – 1}}$ và ${{A}^{-1}}=dfrac{1}{det left( A right)}{{A}^{*}};{{left( {{A}^{*}} right)}^{-1}}={{left( {{A}^{-1}} right)}^{*}}=dfrac{1}{det left( A right)}A;A={{left( {{A}^{-1}} right)}^{-1}};A=dfrac{1}{{{left( det left( A right) right)}^{n-2}}}{{left( {{A}^{*}} right)}^{*}}.$
Một số bài toán chứng minh liên quan đến ma trận nghịch đảo
Câu 37. Cho 𝐴, 𝐵 là các ma trận vuông cấp 𝑛 khả nghịch. Giải sử tồn tại ma trận vuông cấp 𝑛 khả nghịch 𝐶 sao cho ${{C}^{-1}}ABC$ là ma trận đường chéo. Chứng minh rằng tồn tại ma trận vuông cấp 𝑛 khả nghich 𝐷 sao cho ${{D}^{-1}}BAD$ là ma trận đường chéo.
Câu 37. Theo bài ra thì ${{C}^{-1}}ABC=P$ với $P$ là ma trận đường chéo. Ý tưởng là từ phương trình này tìm ra ma trận $BA$
$Rightarrow P.{{C}^{-1}}A={{C}^{-1}}ABC.{{C}^{-1}}A={{C}^{-1}}ABARightarrow C.P{{C}^{-1}}A=C.{{C}^{-1}}ABA=ABA$$Rightarrow {{A}^{-1}}CP{{C}^{-1}}A={{A}^{-1}}.ABA=BAleft( * right).$
Đặt $X={{A}^{-1}}CRightarrow {{X}^{-1}}={{left( {{A}^{-1}}C right)}^{-1}}={{C}^{-1}}A$ do đó $left( * right)Leftrightarrow XP{{X}^{-1}}=BARightarrow {{X}^{-1}}BAX={{X}^{-1}}XP{{X}^{-1}}X=P$ là một ma trận đường chéo. Vậy ma trận thoả mãn là $D=X={{A}^{-1}}C.$ Ta có điều phải chứng minh.
Câu 42. Cho 𝐴 là ma trận vuông cấp 𝑛 khả nghịch sao cho $A+{{A}^{-1}}+E=0.$ Chứng minh rằng $det left( A right)=1.$
Giải. Ta có $A+{{A}^{-1}}+E=0Rightarrow Aleft( A+{{A}^{-1}}+E right)=0Leftrightarrow {{A}^{2}}+A+E=0$
$Rightarrow left( A-E right)left( {{A}^{2}}+A+E right)=0Leftrightarrow {{A}^{3}}-E=0Leftrightarrow {{A}^{3}}=E$
$Rightarrow {{left( det left( A right) right)}^{3}}=det left( {{A}^{3}} right)=det left( E right)=1Rightarrow det left( A right)=1.$ Ta có điều phải chứng minh.
Câu 43. Cho 𝐴, 𝐵 là các ma trận vuông cấp 𝑛 sao cho $A,B$ và $A+B$ khả nghịch thoả mãn ${{left( A+B right)}^{-1}}={{A}^{-1}}+{{B}^{-1}}.$ Chứng minh rằng $det left( A right)=det left( B right).$
Giải. Ta có ${{left( A+B right)}^{-1}}={{A}^{-1}}+{{B}^{-1}}Rightarrow E=left( A+B right){{left( A+B right)}^{-1}}=left( A+B right)left( {{A}^{-1}}+{{B}^{-1}} right)$
$Rightarrow E=A{{A}^{-1}}+A{{B}^{-1}}+B{{A}^{-1}}+B{{B}^{-1}}=A{{B}^{-1}}+B{{A}^{-1}}+2ELeftrightarrow A{{B}^{-1}}+B{{A}^{-1}}+E=0$
Đặt $X=A{{B}^{-1}}Rightarrow XB=A{{B}^{-1}}B=ARightarrow XB{{A}^{-1}}=A{{A}^{-1}}=ERightarrow B{{A}^{-1}}={{X}^{-1}}Rightarrow X+{{X}^{-1}}+E=0.$
Theo câu 42 suy ra $det left( X right)=1$
Khi đó $det left( A right)=det left( XB right)=det left( X right)det left( B right)=det left( B right).$ Ta có điều phải chứng minh.
Các dạng toán được liệt kê dưới đây, bạn đọc nhấn vào từng dạng để xem chi tiết thêm
Tìm ma trận nghịch đảo bằng cách giải hệ phương trình
Ứng dụng ma trận nghịch đảo để giải phương trình ma trận
Giải phương trình ma trận khi không dùng được ma trận nghịch đảo
Chứng minh một ma trận suy biến và ma trận khả nghịch
