Phương pháp giải:
- Xét phương trình: (asin x + bcos x = c{rm{ (1)}})
Điều kiện có nghiệm: ({a^2} + {b^2} ge {c^2})
Chia hai vế của (1) cho (sqrt {{a^2} + {b^2}} ), ta được:
(left( 1 right) Leftrightarrow frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}sin x + frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}cos x = frac{c}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }})
Vì ({left( {frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} right)^2} + {left( {frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} right)^2} = 1) nên ta đặt (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{sin varphi = frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}{cos varphi = frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}end{array}} right.)
Phương trình trở thành:
(sin xsin varphi + cos xcos varphi = frac{c}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }} Leftrightarrow cos left( {x – varphi } right) = frac{c}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }})
Đặt (cos alpha = frac{c}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}) ta được phương trình lượng giác cơ bản.
- Hoàn toàn tương tự ta cũng có thể đặt (left{ begin{array}{l}cos varphi = frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}sin varphi = frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}end{array} right.)
Khi đó phương trình trở thành: ({mathop{rm sinxcos}nolimits} varphi + cosxsinvarphi = frac{c}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }} Leftrightarrow sin left( {x + varphi } right) = frac{c}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }})
Lời giải:
Câu a:
(cos x – sqrt 3 sin x = sqrt 2 )
(begin{array}{l} Leftrightarrow frac{1}{2}cos x – frac{{sqrt 3 }}{2}{mathop{rm sinx}nolimits} = frac{1}{{sqrt 2 }} Leftrightarrow sin frac{pi }{6}.cos x – cos frac{pi }{6}.sin x = frac{1}{{sqrt 2 }} Leftrightarrow sin left( {frac{pi }{6} – x} right) = frac{1}{{sqrt 2 }} Leftrightarrow sin left( {frac{pi }{6} – x} right) = sin frac{pi }{4} Leftrightarrow left[ begin{array}{l}frac{pi }{6} – x = frac{pi }{4} + k2pi frac{pi }{6} – x = frac{{3pi }}{4} + k2pi end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = – frac{pi }{{12}} + k2pi x = – frac{{7pi }}{{12}} + k2pi end{array} right.,k in mathbb{Z}.end{array})
Câu b:
(3sin 3x – 4cos 3x = 5 Leftrightarrow frac{3}{5}sin 3x – frac{4}{5}cos 3x = 1.)
Đặt (cos alpha = frac{3}{5},,sin alpha = frac{4}{5},) suy ra:
(sin (3x – alpha ) = 1 Leftrightarrow 3x – alpha = frac{pi }{2} + k2pi Leftrightarrow x = frac{pi }{6} + frac{alpha }{3} + kfrac{{2pi }}{3},k in mathbb{Z}.)
Câu c:
(begin{array}{l}2sin x + 2{mathop{rm cosx}nolimits} – sqrt 2 = 0 Leftrightarrow sin x + cos x = frac{1}{{sqrt 2 }} Leftrightarrow sqrt 2 sin left( {x + frac{pi }{4}} right) = frac{1}{{sqrt 2 }} Leftrightarrow sin left( {x + frac{pi }{4}} right) = frac{1}{2} Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x + frac{pi }{4} = frac{pi }{6} + k2pi x + frac{pi }{4} = frac{{5pi }}{6} + k2pi end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = – frac{pi }{{12}} + k2pi x = frac{{7pi }}{{12}} + k2pi end{array} right.,k in mathbb{Z}.end{array})
Câu d:
(begin{array}{l}5cos 2x + 12sin 2x – 13 = 0 Leftrightarrow 12sin 2x + 5cos 2x = 13 Leftrightarrow frac{{12}}{{13}}sin 2x + frac{5}{{13}}cos 2x = 1end{array})
( Leftrightarrow sin (2x + alpha ) = 1) (left( {sin alpha = frac{5}{{13}};,cos alpha = frac{{12}}{{13}}} right))
(begin{array}{l} Leftrightarrow 2x + alpha = frac{pi }{2} + k2pi Leftrightarrow x = frac{pi }{4} – frac{alpha }{2} + kpi ,k in mathbb{Z}.end{array})
– Mod Toán 11 HỌC247
