Giải các phương trình sau:
LG a
(2cos^2x – 3cosx + 1 = 0)
Phương pháp giải:
Đặt (t = cos x), đưa về phương trình bậc hai ẩn t.
Lời giải chi tiết:
(2cos^2x – 3cosx + 1 = 0)
Đặt (t = cosx) với điều kiện (-1 ≤ x ≤ 1), khi đó ta có:
(2{t^2} – 3t + 1 = 0 Leftrightarrow left[ matrix{t = 1 hfill cr t = {1 over 2} hfill cr} right.)
Với (t = 1), ta có: (cos x = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ mathbb{Z})
Với (t = {1 over 2}) ta có: (cos x = frac{1}{2} Leftrightarrow x = pm frac{pi }{3} + k2pi ,,left( {k in Z} right))
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: (x = k2pi ,x = pm {pi over 3} + k2pi ,k in mathbb{Z})
LG b
(25sin^2x + 15sin2x + 9 cos^2x = 25)
Phương pháp giải:
Đưa phương trình về dạng phương trình tích.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
(25sin^2x + 15sin2x + 9 cos^2x = 25)
(⇔ 25(1-cos^2x) + 30sinxcosx + 9cos^2x= 25)
(⇔ -25 cos^2x + 30sinxcosx + 9cos^2x = 0)
(⇔ -16cos^2x + 30sinxcosx = 0)
(eqalign{& Leftrightarrow – 2cos x(8cos x – 15sin x) = 0 cr & Leftrightarrow left[ matrix{cos x = 0 hfill cr 8cos x – 15sin x = 0 hfill cr} right. Leftrightarrow left[ matrix{cos x = 0 hfill cr tan x = {8 over {15}} hfill cr} right. cr & Leftrightarrow left[ matrix{x = {pi over 2} + kpi hfill cr x = arctan {8 over {15}} + kpi hfill cr} right.,k in mathbb{Z} cr} )
Vậy nghiệm của phương trình là (x = frac{pi }{2} + kpi ,,,x = arctan frac{8}{{15}} + kpi ,,left( {k in Z} right))
LG c
(2sinx + cosx = 1)
Phương pháp giải:
Phương trình dạng (asin x + bcos x = c), chia cả 2 vế cho (sqrt {{a^2} + {b^2}} )
Lời giải chi tiết:
Chia cả hai vế của phương trình cho (sqrt 5 ) , ta được:
({2 over {sqrt 5 }}sin x + {1 over {sqrt 5 }}cos x = {1 over {sqrt 5 }}) (*)
Vì ({left( {frac{2}{{sqrt 5 }}} right)^2} + {left( {frac{1}{{sqrt 5 }}} right)^2} = 1) nên tồn tại một góc (α) thỏa mãn:
(left{ matrix{sin alpha = {2 over {sqrt 5 }} hfill cr cos alpha = {1 over {sqrt 5 }} hfill cr} right.)
Khi đó, phương trình (*) trở thành:
(begin{array}{l},,,,,sin xsin alpha + cos xcos alpha = cos alpha Leftrightarrow cos left( {x – alpha } right) = cos alpha Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x – alpha = alpha + k2pi x – alpha = – alpha + k2pi end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 2alpha + k2pi x = k2pi end{array} right.,,,left( {k in Z} right)end{array})
Vậy nghiệm của phương trình là: ({x = 2alpha + k2pi ;x = k2pi }) ((k in Z)).
LG d
(sin x + 1,5cot x = 0)
Phương pháp giải:
Biến đổi, quy đồng, đưa phương trình về dạng phương trình bậc cao đối với 1 hàm số lượng giác.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện (sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ, k ∈ mathbb{Z}).
Phương trình đã cho biến đổi:
(eqalign{& sin x + {3 over 2}.{{cos x} over {sin x}}=0 Leftrightarrow 2{sin ^2}x + 3cos x = 0 cr & Leftrightarrow 2(1 – {cos ^2}x) + 3cos x = 0 cr & Leftrightarrow 2{cos ^2}x – 3cos x – 2 = 0 ,,,,(*)cr} )
Đặt (t = cosx) với điều kiện (-1 le t le 1)
Khi đó, phương trình (*) trở thành:
(2{t^2} – 3t – 2 = 0 Leftrightarrow left[ matrix{t = 2 hfill,,,text{(loại)} cr t = {{ – 1} over 2} hfill ,,,(tm)cr} right.)
Với (t = – frac{1}{2} Leftrightarrow cos x = – frac{1}{2} Leftrightarrow x = pm frac{{2pi }}{3} + k2pi ,,left( {k in Z} right))
