Vận dụng 1
Tại một xưởng sản xuất bột đã thạch anh, giá bán (tính theo nghìn đồng) của (x) (kg) bột đã thạch anh được tính theo công thức sau:
(Pleft( x right) = left{ {begin{array}{*{20}{c}}{4,5x}&{khi,,0 < x le 400}{4x + k}&{khi,,x > 400}end{array}} right.) ((k) là một hãng số).
a) Với (k = 0), xét tính liên tục của hàm số (Pleft( x right)) trên (left( {0; + infty } right)).
b) Với giá trị nào của (k) thì hàm số (Pleft( x right)) liên tục trên (left( {0; + infty } right))?
Phương pháp giải:
a) Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm ({x_0} in left( {0;400} right),{x_0} in left( {400; + infty } right)) và điểm ({x_0} = 400), từ đó đưa ra kết luận.
b) Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm ({x_0} in left( {0;400} right),{x_0} in left( {400; + infty } right)).
Bước 2: Tính (mathop {lim }limits_{x to 400} Pleft( x right)) và (Pleft( {400} right)).
Bước 3: Giải phương trình (mathop {lim }limits_{x to 400} Pleft( x right) = Pleft( {400} right)) để tìm (k).
a) Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm ({x_0} in left( {0;400} right),{x_0} in left( {400; + infty } right)) và điểm ({x_0} = 400), từ đó đưa ra kết luận.
b) Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm ({x_0} in left( {0;400} right),{x_0} in left( {400; + infty } right)).
Bước 2: Tính (mathop {lim }limits_{x to 400} Pleft( x right)) và (Pleft( {400} right)).
Bước 3: Giải phương trình (mathop {lim }limits_{x to 400} Pleft( x right) = Pleft( {400} right)) để tìm (k).
Lời giải chi tiết:
a) Với (k = 0), hàm số có dạng (Pleft( x right) = left{ {begin{array}{*{20}{c}}{4,5x}&{khi,,0 < x le 400}{4x}&{khi,,x > 400}end{array}} right.)
• Với mọi ({x_0} in left( {0;400} right)), ta có:
(mathop {lim }limits_{x to {x_0}} Pleft( x right) = mathop {lim }limits_{x to {x_0}} left( {4,5x} right) = 4,5mathop {lim }limits_{x to {x_0}} x = 4,5{x_0} = Pleft( {{x_0}} right))
Vậy hàm số (y = Pleft( x right)) liên tục tại mọi điểm ({x_0} in left( {0;400} right)).
• Với mọi ({x_0} in left( {400; + infty } right)), ta có:
(mathop {lim }limits_{x to {x_0}} Pleft( x right) = mathop {lim }limits_{x to {x_0}} left( {4x} right) = 4mathop {lim }limits_{x to {x_0}} x = 4{x_0} = Pleft( {{x_0}} right))
Vậy hàm số (y = Pleft( x right)) liên tục tại mọi điểm ({x_0} in left( {400; + infty } right)).
• (fleft( {400} right) = 4,5.400 = 1800).
(mathop {lim }limits_{x to {{400}^ + }} Pleft( x right) = mathop {lim }limits_{x to {{400}^ + }} left( {4x} right) = 4mathop {lim }limits_{x to {{400}^ + }} x = 4.400 = 1600).
(mathop {lim }limits_{x to {{400}^ – }} Pleft( x right) = mathop {lim }limits_{x to {{400}^ – }} left( {4,5x} right) = 4,5.mathop {lim }limits_{x to {{400}^ – }} x = 4,5.400 = 1800).
Vì (mathop {lim }limits_{x to {{400}^ + }} Pleft( x right) ne mathop {lim }limits_{x to {{400}^ – }} {rm{ }}Pleft( x right)) nên không tồn tại (mathop {lim }limits_{x to 400} Pleft( x right)).
Vậy hàm số không liên tục tại điểm ({x_0} = 400).
Vậy hàm số (y = fleft( x right)) không liên tục trên (left( {0; + infty } right)).
b) Xét hàm số (Pleft( x right) = left{ {begin{array}{*{20}{c}}{4,5x}&{khi,,0 < x le 400}{4x + k}&{khi,,x > 400}end{array}} right.) ((k) là một hãng số)
Hàm số liên tục trên các khoảng (left( {0;400} right)) và (left( {400; + infty } right)).
Ta có: (fleft( {400} right) = 4,5.400 = 1800).
(mathop {lim }limits_{x to {{400}^ + }} Pleft( x right) = mathop {lim }limits_{x to {{400}^ + }} left( {4x + k} right) = 4mathop {lim }limits_{x to {{400}^ + }} x + mathop {lim }limits_{x to {{400}^ + }} k = 4.400 + k = 1600 + k).
(mathop {lim }limits_{x to {{400}^ – }} Pleft( x right) = mathop {lim }limits_{x to {{400}^ – }} left( {4,5x} right) = 4,5.mathop {lim }limits_{x to {{400}^ – }} x = 4,5.400 = 1800).
Để hàm số (y = Pleft( x right)) liên tục trên (left( {0; + infty } right)) thì hàm số (y = Pleft( x right)) phải liên tục tại điểm ({x_0} = 400).
Để hàm số liên tục tại điểm ({x_0} = 400) thì:
(mathop {lim }limits_{x to {{400}^ + }} Pleft( x right) = mathop {lim }limits_{x to {{400}^ – }} Pleft( x right) = fleft( {400} right) Leftrightarrow 1600 + k = 1800 Leftrightarrow k = 200)
Vậy với (k = 200) thì hàm số (Pleft( x right)) liên tục trên (left( {0; + infty } right))
