Câu 11 trang 142 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tìm giới hạn của các dãy số (un) với
a. ({u_n} = – 2{n^3} + 3n + 5)
b. ({u_n} = sqrt {3{n^4} + 5{n^3} – 7n} )
Giải
a. Ta có: ({u_n} = {n^3}left( { – 2 + {3 over {{n^2}}} + {5 over {{n^3}}}} right))
Vì ({{mathop{rm limn}nolimits} ^3} = + infty ,text{ và },lim left( { – 2 + {3 over {{n^2}}} + {5 over {{n^3}}}} right) = – 2 < 0)
Nên (lim {u_n} = – infty )
b. Ta có: ({u_n} = {n^2}sqrt {3 + {5 over n} – {7 over {{n^3}}}} )
Vì (lim {n^2} = + infty ,text{ và },lim sqrt {3 + {5 over n} – {7 over {{n^3}}}} = sqrt 3 > 0)
Nên (lim {u_n} = + infty )
Câu 12 trang 142 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tìm giới hạn của các dãy số (un) với
a. ({u_n} = {{ – 2{n^3} + 3n – 2} over {3n – 2}})
b. ({u_n} = {{root 3 of {{n^6} – 7{n^3} – 5n + 8} } over {n + 12}})
Giải:
a. Ta có:
({u_n} = {{{n^3}left( { – 2 + {3 over {{n^2}}} – {2 over {{n^3}}}} right)} over {{n^3}left( {{3 over {{n^2}}} – {2 over {{n^3}}}} right)}} = {{ – 2 + {3 over {{n^2}}} – {2 over {{n^3}}}} over {{3 over {{n^2}}} – {2 over {{n^3}}}}})
Vì (lim left( { – 2 + {3 over {{n^2}}} – {2 over {{n^2}}}} right) = – 2 < 0)
Và (lim left( {{3 over {{n^2}}} – {2 over {{n^3}}}} right) = 0;)
Nên (lim {u_n} = – infty )
b. Chia tử và mẫu của phân thức cho n, ta được :
(eqalign{ & {u_n} = {{nroot 3 of {1 – {7 over {{n^3}}} – {5 over {{n^5}}} + {8 over n^6}} } over {1 + {{12} over n}}} cr & text{ Vì },lim nroot 3 of {1 – {7 over {{n^3}}} – {5 over {{n^5}}} + {8 over n^6}} = + infty cr & text{ và },lim left( {1 + {{12} over n}} right) = 1 > 0 cr & text{ nên },{{mathop{rm lim u}nolimits} _n} = + infty cr} )
Câu 13 trang 142 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tìm các giới hạn sau :
a. (lim left( {2n + cos n} right))
b. (lim left( {{1 over 2}{n^2} – 3sin 2n + 5} right))
Giải:
a. Ta có:
(eqalign{ & 2n + cos n = nleft( {2 + {{cos n} over n}} right) cr & left| {{{cos n} over n}} right| le {1 over n},lim {1 over n} = 0 Rightarrow lim {{cos n} over n} = 0 cr} )
Do đó (lim left( {2 + {{cos n} over n}} right) = 2 > 0,text{ và },lim n = + infty )
Suy ra (lim left( {2n + cos n} right) = + infty )
b.
(eqalign{ & lim left( {{1 over 2}{n^2} – 3sin 2n + 5} right) = lim {n^2}left( {{1 over 2} – {{3sin 2n} over n^2} + {5 over {{n^2}}}} right) = + infty cr & text{ vì },lim {n^2} = + infty ,text{ và },lim left( {{1 over 2} – {{3sin 2n} over n^2} + {5 over {{n^2}}}} right) = {1 over 2} > 0 cr} )
Câu 14 trang 142 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Chứng minh rằng nếu (q > 1) thì (lim {q^n} = + infty .)
Giải:
Ta có:
(lim {left( {{1 over q}} right)^n} = 0,left( {do,q > 1} right)text{ mà }q > 0text{ nên }lim {q^n} = + infty )
Câu 15 trang 142 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tìm giới hạn của các dãy số (un) với
a. ({u_n} = {{{3^n} + 1} over {{2^n} – 1}})
b. ({u_n} = {2^n} – {3^n})
Giải:
a. Chia cả tử và mẫu cho 3n ta được : ({u_n} = {{1 + {{left( {{1 over 3}} right)}^n}} over {{{left( {{2 over 3}} right)}^n} – {{left( {{1 over 3}} right)}^n}}})
(eqalign{ & lim left[ {1 + {{left( {{1 over 3}} right)}^n}} right] = 1 > 0text{ và }lim left[ {{{left( {{2 over 3}} right)}^n} – {{left( {{1 over 3}} right)}^n}} right] = 0,; cr & text{ nên },lim {u_n} = + infty cr} )
b.
(eqalign{ & {u_n} = {3^n}left[ {{{left( {{2 over 3}} right)}^n} – 1} right] cr & lim {3^n} = + infty text{ và }lim left[ {{{left( {{2 over 3}} right)}^n} – 1} right] = – 1 < 0 cr &text{ nên }{{mathop{rm lim}nolimits},u _n} = – infty cr} )
Câu 16 trang 143 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tìm các giới hạn sau :
a. (lim {{{n^2} + 4n – 5} over {3{n^3} + {n^2} + 7}})
b. (lim {{{n^5} + {n^4} – 3n – 2} over {4{n^3} + 6{n^2} + 9}})
c. (lim {{sqrt {2{n^4} + 3n – 2} } over {2{n^2} – n + 3}})
d. (lim {{{3^n} – {{2.5}^n}} over {7 + {{3.5}^n}}})
Giải:
a.
(eqalign{ & lim {{{n^2} + 4n – 5} over {3{n^3} + {n^2} + 7}} = lim {{{n^3}left( {{1 over n} + {4 over {{n^2}}} – {5 over {{n^3}}}} right)} over {{n^3}left( {3 + {1 over n} + {7 over {{n^3}}}} right)}} cr & = lim {{{1 over n} + {4 over {{n^2}}} – {5 over {{n^3}}}} over {3 + {1 over n} + {7 over {{n^3}}}}} = {0 over 3} = 0 cr} )
b.
(eqalign{ & lim {{{n^5} + {n^4} – 3n – 2} over {4{n^3} + 6{n^2} + 9}} = lim {n^2}{{{n^3}left( {1 + {1 over n} – {3 over {{n^4}}} – {2 over {{n^5}}}} right)} over {{n^3}left( {4 + {6 over n} + {9 over {{n^3}}}} right)}} cr & = {{mathop{rm limn}nolimits} ^2}{{left( {1 + {1 over n} – {3 over {{n^4}}} – {2 over {{n^5}}}} right)} over {left( {4 + {6 over n} + {9 over {{n^3}}}} right)}} = + infty cr} )
c.
(eqalign{ & lim {{sqrt {2{n^4} + 3n – 2} } over {2{n^2} – n + 3}} = lim {{{n^2}sqrt {2 + {3 over {n^3}} – {2 over {{n^4}}}} } over {{n^2}left ({2 – {1 over n} + {3 over{ {n^2}}}}right )}} cr & = lim {{sqrt {2 + {n over 3} – {2 over {{n^2}}}} } over {2 – {1 over n} + {3 over {{n^2}}}}} = {{sqrt 2 } over 2} cr} )
d. Chia cả tử và mẫu cho 5n ta được :
(eqalign{ & lim {{{3^n} – {{2.5}^n}} over {7 + {{3.5}^n}}} = lim {{{{left( {{3 over 5}} right)}^n} – 2} over {7.{{left( {{1 over 5}} right)}^n} + 3}} = – {2 over 3} cr & text{vì},,lim {left( {{3 over 5}} right)^n} = lim {left( {{1 over 5}} right)^n} = 0 cr} )
Câu 17 trang 143 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tìm các giới hạn sau :
a. (lim left( {3{n^3} – 7n + 11} right))
b. (lim sqrt {2{n^4} – {n^2} + n + 2} )
c. (lim root 3 of {1 + 2n – {n^3}} )
d. (lim sqrt {{{2.3}^n} – n + 2} .)
Giải
a.
(eqalign{ & lim left( {3{n^3} – 7n + 11} right) = lim {n^3}left( {3 – {7 over {{n^2}}} + {{11} over {{n^3}}}} right) = + infty cr & text{ vì },{{mathop{rm limn}nolimits} ^3} = + infty text{ và }lim left( {3 – {7 over {{n^2}}} + {{11} over {{n^3}}}} right) = 3 > 0 cr} )
b.
(eqalign{ & lim sqrt {2{n^4} – {n^2} + n + 2} = lim {n^2}.sqrt {2 – {1 over {{n^2}}} + {1 over {{n^3}}} + {2 over {{n^4}}}} = + infty cr & text{ vì };lim {n^2} = + infty text{ và }lim sqrt {2 – {1 over {{n^2}}} + {1 over {{n^3}}} + {2 over {{n^4}}}} = sqrt 2 > 0 cr} )
c.
(eqalign{ & lim root 3 of {1 + 2n – {n^3}} = lim nroot 3 of {{1 over {{n^3}}} + {2 over {{n^2}}} – 1} = – infty cr & text{ vì }lim n = + infty text{ và }lim root 3 of {{1 over {{n^3}}} + {2 over {{n^2}}} – 1} = – 1 < 0 cr} )
d.
(sqrt {{{2.3}^n} – n + 2} = {left( {sqrt 3 } right)^n}sqrt {2 – {n over {{3^n}}} + {2 over {{3^n}}}} ) với mọi n.
Vì (lim {n over {{3^n}}} = 0) (xem bài tập 4) và (lim {2 over {{3^n}}} = 0)
Nên (lim sqrt {2 – {n over {{3^n}}} + {2 over {{3^n}}}} = sqrt 2 > 0)
Ngoài ra (lim {left( {sqrt 3 } right)^n} = + infty )
Do đó (lim sqrt {{{2.3}^n} – n + 2} = + infty )
Câu 18 trang 143 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tìm các giới hạn sau :
a. (lim left( {sqrt {{n^2} + n + 1} – n} right))
Hướng dẫn : Nhân và chia biểu thức đã cho với (sqrt {{n^2} + n + 1} + n)
b. (lim {1 over {sqrt {n + 2} – sqrt {n + 1} }})
Hướng dẫn : Nhân tử và mẫu của phân thức đã cho với (sqrt {n + 2} + sqrt {n + 1} )
c. (lim left( {sqrt {{n^2} + n + 2} – sqrt {n + 1} } right))
d. (lim {1 over {sqrt {3n + 2} – sqrt {2n + 1} }})
e. (lim left( {sqrt {n + 1} – sqrt n } right)n)
f. (lim {{sqrt {{n^2} + 1} – sqrt {n + 1} } over {3n + 2}})
Giải:
a. Ta có:
(eqalign{ & lim left( {sqrt {{n^2} + n + 1} – n} right) = lim {{left( {{n^2} + n + 1} right) – {n^2}} over {sqrt {{n^2} + n + 1} + n}} cr & = lim {{n + 1} over {sqrt {{n^2} + n + 1} + n}} = lim {{nleft( {1 + {1 over n}} right)} over {nleft( {sqrt {1 + {1 over n} + {1 over {{n^2}}}} + 1} right)}} cr & = lim {{1 + {1 over n}} over {sqrt {1 + {1 over n} + {1 over {{n^2}}}} + 1}} = {1 over 2} cr} )
b.
(eqalign{ & lim {1 over {sqrt {n + 2} – sqrt {n + 1} }} = lim {{sqrt {n + 2} + sqrt {n + 1} } over {n + 2 – n – 1}} cr & = lim left( {sqrt {n + 2} + sqrt {n + 1} } right) = + infty cr} )
c.
(eqalign{ & lim sqrt {{n^2} + n + 2} – sqrt {n + 1} = lim,n left( {sqrt {1 + {1 over n} + {2 over {{n^2}}}} – sqrt {{1 over n} + {1 over {{n^2}}}} } right) = + infty cr & text{ vì};lim n = + infty text{ và};lim left( {sqrt {1 + {1 over n} + {2 over {{n^2}}}} – sqrt {{1 over n} + {1 over {{n^2}}}} } right) = 1 > 0 cr} )
d.
(eqalign{ & lim {1 over {sqrt {3n + 2} – sqrt {2n + 1} }} = lim {{sqrt {3n + 2} + sqrt {2n + 1} } over {3n + 2 – 2n – 1}} cr & = lim {{sqrt {3n + 2} + sqrt {2n + 1} } over {n + 1}} = lim {{nleft( {sqrt {{3 over n} + {2 over {{n^2}}}} + sqrt {{2 over n} + {1 over {{n^2}}}} } right)} over {nleft( {1 + {1 over n}} right)}} cr & = lim {{sqrt {{3 over n} + {2 over {{n^2}}}} + sqrt {{2 over n} + {1 over {{n^2}}}} } over {1 + {1 over n}}} = 0 cr} )
e.
(eqalign{ & lim left( {sqrt {n + 1} – sqrt n } right).n cr & = lim sqrt n .{{sqrt n } over {sqrt {n + 1} + sqrt n }} = lim sqrt n .{1 over {sqrt {1 + {1 over n}} + 1}} = + infty cr & text{ vì};lim sqrt n = + infty ;text{và};lim {1 over {sqrt {1 + {1 over n}} + 1}} = {1 over 2} > 0 cr} )
f.
(eqalign{ & lim {{sqrt {{n^2} + 1} – sqrt {n + 1} } over {3n + 2}} = lim {{nleft( {sqrt {1 + {1 over {{n^2}}}} – sqrt {{1 over n} + {1 over {{n^2}}}} } right)} over {nleft( {3 + {2 over n}} right)}} cr & = lim {{sqrt {1 + {1 over {{n^2}}}} – sqrt {{1 over n} + {1 over {{n^2}}}} } over {3 + {2 over n}}} = {1 over 3}. cr} )
Câu 19 trang 143 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là ({5 over 3},) tổng ba số hạng đầu tiên của nó là ({{39} over {25}}) . Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số đó.
Giải
Ta có:
(eqalign{ & S = {{{u_1}} over {1 – q}} = {5 over 3},,,left( 1 right) cr & {u_1} + {u_2} + {u_3} = {u_1}left( {1 + q + {q^2}} right) = {{39} over {25}}cr & Rightarrow {{{u_1}} over {1 – q}}left( {1 – {q^3}} right) = {{39} over {25}},,left( 2 right) cr} )
Thay (1) vào (2) ta được :({5 over 3}left( {1 – {q^3}} right) = {{39} over {25}} Rightarrow q = {2 over 5})
Từ (1) suy ra ({u_1} = 1) .
Vậy ({u_1} = 1,q = {2 over 5})
Câu 20 trang 143 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Bông tuyết Vôn Kốc
Ta bắt đầu từ một tam giác đều cạnh a. Chia mỗi cạnh của tam giác ABC thành ba đoạn thẳng bằng nhau. Trên mỗi đoạn thẳng ở giữa, dựng một tam giác đều nằm ngoài tam giác ABC rồi xóa đáy của nó, ta được đường gấp khúc khép kín H1. Chia mỗi cạnh H1 thành ba đoạn thẳng bằng nhau. Trên mỗi đoạn thẳng ở giữa, dựng một tam giác đều nằm ngoài H1 rồi xóa đáy của nó, ta được đường gấp khúc khép kín H2. Tiếp tục như vậy, ta được một hình giống như bông tuyết, gọi là bông tuyết Vôn Kốc (h. 4.6).
a. Gọi p1, phương pháp, …, pn, … là độ dài của H1, H2, …, Hn, … . Chứng minh rằng (pn) là một cấp số nhân. Tìm limpn.
b. Gọi Sn là diện tích của miền giới hạn bởi đường gấp khúc Hn. Tính Sn và tìm giới hạn của dãy số (Sn).
Hướng dẫn : Số cạnh của Hn là 3.4n. Tìm độ dài mỗi cạnh của Hn, từ đó tính pn. Để tính Sn cần chú ý rằng muốn có Hn+1 chỉ cần thêm vào một tam giác đều nhỏ trên mỗi cạnh của Hn.
Giải:
a. Số cạnh của Hn là 3.4n.
Độ dài mỗi cạnh của Hnlà ({a over {{3^n}}})
Do đó độ dài của Hnlà ({p_n} = {3.4^n}.{a over {{3^n}}} = 3a{left( {{4 over 3}} right)^n})
Vậy dãy số (pn) là một cấp số nhân và (lim {p_n} = + infty )
b. Diện tích tam giác ABC cạnh a là (S = {{{a^2}sqrt 3 } over 4})
(eqalign{ & {S_1} – S = 3.left( {{S over 9}} right) = {S over 3}, cr & {S_2} – {S_1} = 4.3.left( {{S over {{9^2}}}} right) = {S over 3}.left( {{4 over 9}} right) cr & {S_3} – {S_2} = {4^2}.3.left( {{S over {{9^3}}}} right) = {S over 3}.{left( {{4 over 9}} right)^2} cr} )
Bằng phương pháp qui nạp, ta được :
({S_n} = {S_{n – 1}} = {4^{n – 1}}.3.left( {{S over {{9^n}}}} right) = {S over 3}.{left( {{4 over 9}} right)^{n – 1}})
Cộng từng vế n đẳng thức trên, ta được :
({S_n} – S = {S over 3} + {S over 3}.left( {{4 over 9}} right) + {S over 3}.{left( {{4 over 9}} right)^2} + … + {S over 3}.{left( {{4 over 9}} right)^{n – 1}},,left( 1 right))
Vế phải của (1) là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là ({S over 3}) và công bội là ({4 over 9}). Tổng của cấp số nhân này là :
(left( {{S over 3}} right).{1 over {1 – {4 over 9}}} = {{3S} over 5})
Do đó (lim left( {{S_n} – S} right) = {{3S} over 5})
Suy ra (lim {S_n} = {{3S} over 5} + S = {{8S} over 5} = {8 over 5}.{{{a^2}sqrt 3 } over 4} = {{2sqrt 3 } over 5}{a^2})
Giaibaitap.me
