Câu 1 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao
Ba vecto (overrightarrow a ,overrightarrow b ,overrightarrow c ) có đồng phẳng không nếu một trong hai điều sau đây xảy ra ?
a. Có một vecto trong ba vecto đó bằng (overrightarrow 0 )
b. Có hai vecto trong ba vecto đó cùng phương.
Giải
a. Giả sử (overrightarrow a = overrightarrow 0 .) Áp dụng định lí 1 : (overrightarrow a = 0.overrightarrow b + 0.overrightarrow c ) nên (overrightarrow a ,overrightarrow b ,overrightarrow c ) đồng phẳng.
b. Giả sử (overrightarrow a ,overrightarrow b ) cùng phương, khi đó có số k sao cho (overrightarrow a = koverrightarrow b )
( Rightarrow overrightarrow a = koverrightarrow b + 0.overrightarrow c ) do đó (overrightarrow a ,overrightarrow b ,overrightarrow c ) đồng phẳng.
Câu 2 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hình chóp S.ABCD.
a. Chứng minh rằng nếu ABCD là hình bình hành thì (overrightarrow {SB} + overrightarrow {SD} = overrightarrow {SA} + overrightarrow {SC} ). Điều ngược lại có đúng không ?
b. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng tỏ rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi (overrightarrow {SA} + overrightarrow {SB} + overrightarrow {SC} + overrightarrow {SD} = 4overrightarrow {SO} )
Giải
a. Ta có:
(eqalign{ & overrightarrow {SB} + overrightarrow {SD} = overrightarrow {SA} + overrightarrow {SC} cr & Leftrightarrow overrightarrow {SB} – overrightarrow {SC} = overrightarrow {SA} – overrightarrow {SD} Leftrightarrow overrightarrow {CB} = overrightarrow {DA} cr} )
⇔ ABCD là hình bình hành.
b. Ta có:
(eqalign{ & overrightarrow {SA} + overrightarrow {SB} + overrightarrow {SC} + overrightarrow {SD} = 4overrightarrow {SO} cr & Leftrightarrow overrightarrow {SO} + overrightarrow {OA} + overrightarrow {SO} + overrightarrow {OB} + overrightarrow {SO} + overrightarrow {OC} + overrightarrow {SO} + overrightarrow {OD} = 4overrightarrow {SO} cr & Leftrightarrow overrightarrow {OA} + overrightarrow {OB} + overrightarrow {OC} + overrightarrow {OD} = overrightarrow 0 ,,left( * right) cr} )
Nếu ABCD là hình bình hành thì (overrightarrow {OA} + overrightarrow {OB} + overrightarrow {OC} + overrightarrow {OD} = overrightarrow 0 ) suy ra
(overrightarrow {SA} + overrightarrow {SB} + overrightarrow {SC} + overrightarrow {SD} = 4overrightarrow {SO} ) (do (*))
Ngược lại, giả sử (overrightarrow {SA} + overrightarrow {SB} + overrightarrow {SC} + overrightarrow {SD} = 4overrightarrow {SO} ,) ta có (*).
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD thì :
(overrightarrow {OA} + overrightarrow {OC} = 2overrightarrow {OM} ,overrightarrow {OB} + overrightarrow {OD} = 2overrightarrow {ON} )
Từ (*) suy ra (2left( {overrightarrow {OM} + overrightarrow {ON} } right) = overrightarrow 0 ,) điều này chứng tỏ O, M, N thẳng hàng
Mặt khác, M thuộc AC, N thuộc BD và O là giao điểm của AC và BD nên O, M, N thẳng hàng chỉ xảy ra khi O ≡ M ≡ N, tức O là trung điểm AC và BD, hay ABCD là hình bình hành.
Câu 3 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’, I là giao điểm của hai đường thẳng AB’ và A’B. Chứng minh rằng các đường thẳng GI và CG’ song song với nhau.
Giải
Đặt (overrightarrow {AA’} = overrightarrow a ,overrightarrow {AB} = overrightarrow b ,overrightarrow {AC} = overrightarrow c )
Thì (overrightarrow {AG} = {1 over 3}left( {overrightarrow b + overrightarrow c } right),overrightarrow {AI} = {1 over 2}left( {overrightarrow a + overrightarrow b } right))
Do đó, (overrightarrow {GI} = overrightarrow {AI} – overrightarrow {AG} = {{3overrightarrow a + overrightarrow b – 2overrightarrow c } over 6})
Mặt khác : (overrightarrow {AG’} = {1 over 3}left( {overrightarrow {AA’} + overrightarrow {AB’} + overrightarrow {AC’} } right) = overrightarrow a + {1 over 3}left( {overrightarrow b + overrightarrow c } right))
( Rightarrow overrightarrow {CG’} = overrightarrow {AG’} – overrightarrow {AC} = overrightarrow a + {1 over 3}left( {overrightarrow b + overrightarrow c } right) – overrightarrow c )
(= {{3overrightarrow a + overrightarrow b – 2overrightarrow c } over 3})
Vậy (overrightarrow {CG’} = 2overrightarrow {GI} .) Ngoài ra, điểm G không thuộc đường thẳng CG’ nên GI và CG’ là hai đường thẳng song song.
Câu 4 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và DD’; G và G’ lần lượt là trọng tâm của các tứ diện A’D’MN và BCC’D’. Chứng minh rằng đường thẳng GG’ và mặt phẳng (ABB’A’) song song với nhau.
Giải
Đặt (overrightarrow {AB} = overrightarrow a ,overrightarrow {AD} = overrightarrow b ,overrightarrow {AA’} = overrightarrow c .)
Vì G’ là trọng tâm tứ diện BCC’D’ nên (overrightarrow {AG’} = {1 over 4}left( {overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} + overrightarrow {AC’} + overrightarrow {AD’} } right))
Và G là trọng tâm tứ diện A’D’MN nên
(eqalign{ & overrightarrow {AG} = {1 over 4}left( {overrightarrow {AA’} + overrightarrow {AD’} + overrightarrow {AM} + overrightarrow {AN} } right) cr & Rightarrow overrightarrow {GG’} = overrightarrow {AG’} – overrightarrow {AG} cr& = {1 over 4}left( {overrightarrow {A’B} + overrightarrow {D’C} + overrightarrow {MC’} + overrightarrow {ND’} } right) cr & = {1 over 4}left( {overrightarrow a – overrightarrow c + overrightarrow a – overrightarrow c + {1 over 2}overrightarrow a + overrightarrow c + {1 over 2}overrightarrow c } right) cr & = {1 over 8}left( {5overrightarrow a – overrightarrow c } right) = {1 over 8}left( {5overrightarrow {AB} – overrightarrow {AA’} } right) cr} )
Do đó (overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AA’} ,overrightarrow {GG’} ) đồng phẳng. Mặt khác, G không thuộc mặt phẳng (ABB’A’) nên đường thẳng GG’ và mặt phẳng (ABB’A’) song song với nhau.
Câu 5 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao
Trong không gian cho tam giác ABC.
a. Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc mp(ABC) thì có ba số x, y, z mà x + y + z = 1 sao cho (overrightarrow {OM} = overrightarrow {xOA} + overrightarrow {yOB} + overrightarrow {zOC} ) với mọi điểm O.
b. Ngược lại, nếu có một điểm O trong không gian saao cho (overrightarrow {OM} = overrightarrow {xOA} + overrightarrow {yOB} + overrightarrow {zOC} ,) trong đó x + y + z = 1 thì điểm M thuộc mp(ABC).
Giải
a. Vì (overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} ) là hai vecto không cùng phương nên điểm M thuộc mp(ABC) khi và chỉ khi có (overrightarrow {AM} = loverrightarrow {AB} + moverrightarrow {AC} )
hay (overrightarrow {OM} – overrightarrow {OA} = lleft( {overrightarrow {OB} – overrightarrow {OA} } right) + mleft( {overrightarrow {OC} – overrightarrow {OA} } right)) với mọi điểm O
tức là (overrightarrow {OM} = left( {1 – l – m} right)overrightarrow {OA} + loverrightarrow {OB} + moverrightarrow {OC} )
đặt (1 – l – m = x,l = y,m = z) thì (overrightarrow {OM} = xoverrightarrow {OA} + yoverrightarrow {OB} + zoverrightarrow {OC} ) với (x + y + z = 1.)
b. Giả sử (overrightarrow {OM} = xoverrightarrow {OA} + yoverrightarrow {OB} + zoverrightarrow {OC} ) với (x + y + z = 1,) ta có :
(eqalign{ & overrightarrow {OM} = left( {1 – y – z} right)overrightarrow {OA} + yoverrightarrow {OB} + zoverrightarrow {OC} cr & hay,overrightarrow {OM} – overrightarrow {OA} = yoverrightarrow {AB} + zoverrightarrow {AC} cr & text{ tức là }overrightarrow {AM} = yoverrightarrow {AB} + zoverrightarrow {AC} cr} )
Mà (overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} ) không cùng phương nên M thuộc mặt phẳng (ABC)
Câu 6 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho SA = aSA’, SB = bSB’, SC = cSC’, trong đó a, b, c là các số thay đổi. Chứng minh rằng mặt phẳng (A’B’C’) đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a + b + c = 3.
Giải
Ta có: (overrightarrow {SA} = aoverrightarrow {SA’} ,;overrightarrow {SB} = boverrightarrow {SB’} ,;overrightarrow {SC} = coverrightarrow {SC} .)
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì
(eqalign{ & overrightarrow {SG} = {1 over 3}.left( {overrightarrow {SA} + overrightarrow {SB} + overrightarrow {SC} } right) cr & Vay,overrightarrow {SG} = {a over 3}overrightarrow {SA’} + {b over 3}overrightarrow {SB’} + {c over 3}overrightarrow {SC’} cr} )
Mặt phẳng (A’B’C’) đi qua G khi và chỉ khi 4 điểm G, A’, B’, C’ đồng phẳng, nên theo kết quả bài tập 5 (SGK trang 91) , điều đó xảy ra nếu và chỉ nếu ({a over 3} + {b over 3} + {c over 3} = 1) , tức là: a + b + c = 3.
Giaibaitap.me
